Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\) và các đường thẳng \({d_1}:x - y = 0\), \({d_2}:x - 7y = 0\). Viết phương trình đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\) có tâm \(I\) nằm trên đường tròn \((C)\) và tiếp xúc với \({d_1},{d_2}\)

Vì điểm \(A(2; - 1)\) nằm ở góc phần tư thứ tư của hệ trục tọa độ và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng \(I(R; - R)\) trong đó \(R\) là bán kính đường tròn \((C)\).

Ta có: \({R^2} = I{A^2} \Leftrightarrow {R^2} = {(2 - R)^2} + {( - 1 + R)^2} \Leftrightarrow {R^2} - 6R + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{R = 1}\\{R = 5}\end{array}} \right.\).

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đề bài là: \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1\); \({(x - 5)^2} + {(y + 5)^2} = 25\).

Gọi tâm đường tròn là \(I(6a + 10;a) \in d\).

Đường tròn tiếp xúc với \({d_1},{d_2}\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính \(R\), ta có:

\(\begin{array}{l}d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{|3(6a + 10) + 4a + 5|}}{5} = \frac{{|4(6a + 10) - 3a - 5|}}{5}\\ \Leftrightarrow |22a + 35| = |21a + 35| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{22a + 35 = 21a + 35}\\{22a + 35 =  - 21a - 35}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{a =  - \frac{{70}}{{43}}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

- Với \(a = 0\) thì \(K(10;0)\) và \(R = 7\) suy ra \((C):{(x - 10)^2} + {y^2} = 49\).

- Với \(a =  - \frac{{70}}{{43}}\) thì \(K\left( {\frac{{10}}{{43}}; - \frac{{70}}{{43}}} \right)\) và \(R = \frac{7}{{43}}\) suy ra

\((C):{\left( {x - \frac{{10}}{{43}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{70}}{{43}}} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{{43}}} \right)^2}\).

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là:

\({(x - 10)^2} + {y^2} = 49;{\left( {x - \frac{{10}}{{43}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{70}}{{43}}} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{{43}}} \right)^2}{\rm{. }}\)