Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc elip \((E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) sao cho \(M\) nhìn hai tiêu điểm của \((E)\) dưới một góc ${60}^{°}$.

Gọi \({s_A},{s_B}(\;m)\) lần lượt là quãng đường cần để viên đạn bắn về đích \(A\), đích \(B\).

Theo để bài, ta có \({s_A} - {s_B} = 760 \cdot 0,5 = 380(\;m)\). Lại có, khoảng cách giữa đích \(A\) và

đích \(B\) là \(400\;m\), do đó những vị trí mà bạn An đúng thuộc hypebol với hai tiêu

điểm là \(A\) và \(B\).

Đặt hệ trục toạ độ \(Oxy\) với \(O\) là trung điểm của \(AB,Ox\) trùng với \(AB\) và mỗi

đơn vị trên hệ trục toạ độ ứng với \(1\;m\) trên thực tế. Khi đó, ta có \(A( - 200;0)\) và

\(B(200;0)\), tiêu cự của hypebol là \(2c = AB = 400\) (hay \(c = 200)\).

Gọi \(M\) là vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn theo đề bài.

Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn \(|MA - MB| = 2a = 380\) (hay \(a = 190\)) là hypebol có

phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{{190}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{200}^2} - {{190}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{36100}} - \frac{{{y^2}}}{{3900}} = 1\).

Ta có: \({a^2} = 9 \Rightarrow a = 3;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow {F_1}{F_2} = 4\sqrt 2 \).

Gọi \(M(x;y) \in (E)\) thì \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x\).

Ta có $\widehat{F_{1}M{F}_2}={90}^{°}$ nên \({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(4\sqrt 2 )^2} = {\left( {3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2} + {\left( {3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 32 = 18 + 2 \cdot \frac{8}{9} \cdot {x^2}\end{array}\)\(\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{63}}{8} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}\)

Thay vào \((E)\), ta được: \({y^2} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thỏa mãn là \(\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right),\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}; - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\).