Bạn An cùng một lúc bắn hai phát súng về đích \(A\) và đích \(B\) cách nhau \(400\;m\). Biết vận tốc trung bình của viên đạn là \(760\;m/s\). Viên đạn bắn về đích \(A\) nhanh hơn viên đạn bắn về đích \(B\) là 0,5 giây. Hỏi những vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn tương tự như trên thuộc đường conic nào? Viết phương trình chính tắc của đường conic đó.
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ba đường conic lớp 10 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Gọi \({s_A},{s_B}(\;m)\) lần lượt là quãng đường cần để viên đạn bắn về đích \(A\), đích \(B\).
Theo để bài, ta có \({s_A} - {s_B} = 760 \cdot 0,5 = 380(\;m)\). Lại có, khoảng cách giữa đích \(A\) và
đích \(B\) là \(400\;m\), do đó những vị trí mà bạn An đúng thuộc hypebol với hai tiêu
điểm là \(A\) và \(B\).
Đặt hệ trục toạ độ \(Oxy\) với \(O\) là trung điểm của \(AB,Ox\) trùng với \(AB\) và mỗi
đơn vị trên hệ trục toạ độ ứng với \(1\;m\) trên thực tế. Khi đó, ta có \(A( - 200;0)\) và
\(B(200;0)\), tiêu cự của hypebol là \(2c = AB = 400\) (hay \(c = 200)\).
Gọi \(M\) là vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn theo đề bài.
Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn \(|MA - MB| = 2a = 380\) (hay \(a = 190\)) là hypebol có
phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{{190}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{200}^2} - {{190}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{36100}} - \frac{{{y^2}}}{{3900}} = 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Từ phương trình chính tắc của elip \((E)\) ta có \(a = 5,b = 3,c = 4\).
Elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)\) và \({F_1}{F_2} = 2c = 8\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.
Có \(MF_1^2 - MF_2^2 = {\left( {{x_0} + 4} \right)^2} + y_0^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} - 4} \right)}^2} + y_0^2} \right] = 16{x_0}\).
Lại có, \(M \in (E)\) nên \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10.\) (1)
Có \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_2^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{16{x_0}}}{{10}} = \frac{8}{5}{x_0}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(M{F_1} = 5 + \frac{4}{5}{x_0};M{F_2} = 5 - \frac{4}{5}{x_0}\).
Áp dụng định lí côsin cho \(\Delta M{F_1}{F_2}\), ta được:
\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1} \cdot M{F_2} \cdot \cos {60^^\circ }\) \( \Leftrightarrow 64 = {\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right) \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow 64 = 25 + \frac{{48}}{{25}}x_0^2\)
\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{5\sqrt {13} }}{4}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 5\sqrt {13} }}{4}\).
Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{27}}{{16}} \Rightarrow {y_0} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy có bốn điểm \(M\) thoả yêu cầu bài toán là:
\(\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Xét hệ trục toạ độ \(Oxy\) như Hình, trong đó các trục \(Ox,Oy\) lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Phương trình hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\).
Giả sử chất điểm ở vị trí \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và chỉ chuyển động trong một góc vuông tương ứng với miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y > 0}\\{x - y > 0}\end{array}} \right.\) (điểm có toạ độ \((1;0)\) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình \(x + y > 0\) và \(x - y > 0\).
Khoảng cách từ \(M\) đến hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\) lần lượt là: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }}\); \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }}.\)
Suy ra \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2}\). Do đó \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2} = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{8} - \frac{{y_0^2}}{8} = 1\). Vậy chất điểm \(M\) chuyển động trên một phần của đường hypebol \(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Điểm \(A\left( {4;0} \right)\) thuộc elip \((E)\).
b) Tiêu cự elip \((E)\) bằng \(\sqrt 7 \)
c) Elip \((E)\) có tiêu điểm \({F_1}( - 2\sqrt 7 ;0)\), \({F_2}(2\sqrt 7 ;0)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) Điểm \(A\left( {3;0} \right)\) nằm trên hypebol
b) Hypebol \((H)\) có tiêu cự \(4\sqrt 5 \)
c) Hypebol \((H)\) có toạ độ hai tiêu điểm \({F_1}( - 2\sqrt 5 ;0)\); \({F_2}(2\sqrt 5 ;0)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập