Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

Một chất điểm chuyển động trong một góc vuông tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) (Hình) có tính chất: ở mọi thời điểm, tích khoảng cách từ mỗi vị trí của chất điểm đến hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) luôn bằng 4. Biết rằng chất điểm chuyển động trên một phần của đường hypebol. Tìm đường hypebol đó.

Từ phương trình chính tắc của elip \((E)\) ta có \(a = 5,b = 3,c = 4\).

Elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)\) và \({F_1}{F_2} = 2c = 8\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Có \(MF_1^2 - MF_2^2 = {\left( {{x_0} + 4} \right)^2} + y_0^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} - 4} \right)}^2} + y_0^2} \right] = 16{x_0}\).

Lại có, \(M \in (E)\) nên \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10.\) (1)

Có \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_2^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{16{x_0}}}{{10}} = \frac{8}{5}{x_0}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M{F_1} = 5 + \frac{4}{5}{x_0};M{F_2} = 5 - \frac{4}{5}{x_0}\).

Áp dụng định lí côsin cho \(\Delta M{F_1}{F_2}\), ta được:

\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1} \cdot M{F_2} \cdot \cos {60^^\circ }\) \( \Leftrightarrow 64 = {\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right) \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow 64 = 25 + \frac{{48}}{{25}}x_0^2\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{5\sqrt {13} }}{4}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 5\sqrt {13} }}{4}\).

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{27}}{{16}} \Rightarrow {y_0} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

Gọi \({s_A},{s_B}(\;m)\) lần lượt là quãng đường cần để viên đạn bắn về đích \(A\), đích \(B\).

Theo để bài, ta có \({s_A} - {s_B} = 760 \cdot 0,5 = 380(\;m)\). Lại có, khoảng cách giữa đích \(A\) và

đích \(B\) là \(400\;m\), do đó những vị trí mà bạn An đúng thuộc hypebol với hai tiêu

điểm là \(A\) và \(B\).

Đặt hệ trục toạ độ \(Oxy\) với \(O\) là trung điểm của \(AB,Ox\) trùng với \(AB\) và mỗi

đơn vị trên hệ trục toạ độ ứng với \(1\;m\) trên thực tế. Khi đó, ta có \(A( - 200;0)\) và

\(B(200;0)\), tiêu cự của hypebol là \(2c = AB = 400\) (hay \(c = 200)\).

Gọi \(M\) là vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn theo đề bài.

Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn \(|MA - MB| = 2a = 380\) (hay \(a = 190\)) là hypebol có

phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{{190}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{200}^2} - {{190}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{36100}} - \frac{{{y^2}}}{{3900}} = 1\).