Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,\) \(AB = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) bằng:

Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) được thiết diện là tam giác đều do đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục \(Oy\) tại điểm \(O\). Cạnh của thiết diện tam giác đều là: \(a = 2\sqrt {1 - {x^2}} \). Diện tích tam giác thiết diện là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt 3 \).

Thể tích khối cần tìm là:

\(V = 2\int\limits_0^1 {Sdx}  = 2\int\limits_0^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)dx = \left. {2\sqrt 3 \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \). Chọn C.

\(d\) đi qua \(A\left( {2;1;4} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2; - 2} \right)\).

\[d'\] đi qua \(B\left( {4; - 1;0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}}  =  - \overrightarrow {{u_2}} \) và \(\frac{{2 - 4}}{1} \ne \frac{{1 + 1}}{{ - 2}} \ne \frac{4}{2}\) nên \(d\,{\rm{//}}\,d'\).

Đường thẳng \(\Delta \) thuộc mặt phẳng chứa \[d\] và \[d'\]đồng thời cách đều hai đường thẳng đó khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \,{\rm{//}}\,d\,{\rm{//}}\,d'\\d\left( {\Delta ,d} \right) = d\left( {\Delta ,d'} \right)\end{array} \right.\) hay \(\Delta \) qua trung điểm \(I\left( {3;0;2} \right)\) của \(AB\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;2} \right)\). Khi đó phương trình của \(\Delta \): \[\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\]. Chọn C.