Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng ba mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\), \(\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\) và \(\left( R \right): - x + 2y + nz = 0\). Tính tổng \(m + 2n\), biết rằng \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\) và \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\).    

\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{4}{{\cos }^2}\frac{x}{4}dx}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 - \cos x}}{2}} \right)dx = \left. {\frac{1}{8}\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = } } \frac{\pi }{{16}} - \frac{1}{8}\].

\( \Rightarrow P = a + b + c = 1 + 8 + 16 = 25\).

Đáp án cần nhập là: 25.

Đặt hệ tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(x\): thiết diện mặt cắt luôn là hình vuông có cạnh \(\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) \(\left( {0 \le x \le a} \right)\).

Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: \(S\left( x \right) = {a^2} - {x^2}\).