Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết một đỉnh và hai tiêu điểm của \((E)\) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của \((E)\) là \(12(2 + \sqrt 3 )\).

Gọi tâm đường tròn \(I(a;b)\). Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB}  = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\). Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }}  \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\left( 1 \right)\). Ta lại có \(\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ (1) và (2): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 3b =  - 5}\\{a - 3b =  - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{( - 2 + 2)}^2} + {{(6 - 1)}^2}}  = 5\).

Do đó phương trình đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 25\).

Phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\),

Khi đó: \(\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5}\)