Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết một đỉnh và hai tiêu điểm của \((E)\) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của \((E)\) là \(12(2 + \sqrt 3 )\).

\(M \in (E)\). Ta có \(M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\).

$F_1{F}_2^2=M{F}_1^2+M{F}_2^2-2M{F}_{1}M{F}_2\cos {60}^{°}\iff 12=4+\frac{9}{4}{x}^2\iff x=\pm \frac{\sqrt{32}}{3}.$

\(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i  }}M \in (E){\rm{ n\^e n }}x =  \pm \frac{{\sqrt {32} }}{3} \Rightarrow y =  \pm \frac{1}{3}{\rm{. }}\\ \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3};\frac{1}{3}} \right),{M_2}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_3}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_4}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right){\rm{. }}\end{array}\)

Ta có: \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t;t} \right)\), \(\overrightarrow {AH}  = \left( {2t;t - 2} \right)\), đường thẳng \(d\) có VTCP: \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\).

Vì \(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow u  = 0\)\( \Leftrightarrow 2.2t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).