Đường tròn \((C)\) đi qua điểm \(A( - 2;6)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 15 = 0\) tại \(B(1; - 3)\). Khi đó:

Phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\),

Khi đó: \(\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5}\)

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}(0;2)\) bán kính \({R_1} = 3\).

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}(3; - 4)\) bán kính \({R_2} = 3\).

Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} \ne 0\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d\left( {{I_1},\Delta } \right) = 3}\\{d\left( {{I_2},\Delta } \right) = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|2b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} (*)}\\{|3a - 4b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }\end{array} \Rightarrow |2b + c| = |3a - 4b + c| \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2b}\\{c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Trường hợp 1: \(a = 2b\); chọn \(a = 2 \Rightarrow b = 1\); thay vào \(\left( * \right)\) ta được: \(c =  - 2 \pm 3\sqrt 5 \); suy ra phương trình hai tiếp tuyến là: \(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5  = 0\).

Trường hợp 2: \(c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}\); thay vào \((*)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left| {2b + \frac{{ - 3a + 2b}}{2}} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow |2b - a| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 4ab + {a^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow a(3a + 4b) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{3a =  - 4b}\end{array}.} \right.\end{array}\)

Với \(a = 0\); chọn \(b = 1 \Rightarrow c = 1\).

Phương trình \(\Delta :y + 1 = 0\).

Với \(3a =  - 4b\); chọn \(a = 4 \Rightarrow b =  - 3 \Rightarrow c =  - 9\).

Phương trình: \(\Delta :4x - 3y - 9 = 0\).

Vậy có bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình là:

\(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5  = 0;y + 1 = 0;4x - 3y - 9 = 0.{\rm{ }}\)