Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho góc $\widehat{F_{1}M{F}_2}={60}^{°}$ với \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \((E)\)

\((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right)\). Gọi \({F_1}( - c;0) \Rightarrow {F_2}(c;0)\).

Hai đỉnh trên trục nhỏ \({B_1}(0; - b),{B_2}(0;b)\). Ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2c\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{2(2a + 2b) = 12(2 + \sqrt 3 ) \Leftrightarrow }\\{{c^2} = {a^2} - {b^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{b = 3\sqrt 3 }\\{c = 3}\end{array} \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1.} \right.} \right.\)

Ta có: \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t;t} \right)\), \(\overrightarrow {AH}  = \left( {2t;t - 2} \right)\), đường thẳng \(d\) có VTCP: \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\).

Vì \(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow u  = 0\)\( \Leftrightarrow 2.2t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).