Cho \((C)\) đi qua \(A(9;9)\) và tiếp xúc với \(Oy\) tại \(K(0;6)\). Khi đó:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\).

Đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) đi qua \(M(1;5)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = (1;1)\) là

\(d:x + y - 6 = 0.\)

- Tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \) nên tọa độ \(I\) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 6 = 0}\\{x - 2y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right).} \right.} \right.\)

- Bán kính: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{11}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy phương trình đường tròn là \((C):{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{3}} \right)^2} = \frac{{50}}{9}\).

Khi \(AB = 2\) thì \(\Delta IAB\) đều do đó \(d[I,AB] = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Đường thẳng đi qua \(M\) có dạng: \(d:Ax + By - 4A - 6B = 0\).

Ta có \(d[I,AB] = d[I,d] = \sqrt 3  \Leftrightarrow |2A + 4B| = \sqrt 3  \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2}}  \Leftrightarrow {A^2} + 16AB + 13{B^2} = 0\).

Chọn \(B = 1\) ta được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{A =  - 8 + \sqrt {51} }\\{A =  - 8 - \sqrt {51} }\end{array}} \right.\).

\(\begin{array}{l}A =  - 8 + \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _1}:(\sqrt {51}  - 8)x + y + 26 - 4\sqrt {51}  = 0.\\A =  - 8 - \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _2}:(\sqrt {51}  + 8)x - y - 26 - 4\sqrt {51}  = 0.\end{array}\)