Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \(A,B\) và có tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(\Delta \), với \(A(0;4),B(2;6),\Delta :x - 2y + 5 = 0\).

Phương trình đường tròn (C) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\) tâm \(I(a;b)\).

Vì \((C)\) tiếp xúc với \(Oy\) tại \(K(0;6) \Rightarrow I(a;b) \in \Delta :y = 6 \Rightarrow b = 6\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A(9;9) \in (C) \Rightarrow  - 18a - 18b + c =  - 102\\K(0;6) \in (C) \Rightarrow  - 12b + c =  - 36\end{array}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{18a + 18b - c = 162}\\{12b - c = 36}\\{b =  - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{b = 6.{\rm{ }}}\\{c = 36}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \((C):{x^2} + {y^2} - 10x - 12y + 36 = 0\).

Khi \(AB = 2\) thì \(\Delta IAB\) đều do đó \(d[I,AB] = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Đường thẳng đi qua \(M\) có dạng: \(d:Ax + By - 4A - 6B = 0\).

Ta có \(d[I,AB] = d[I,d] = \sqrt 3  \Leftrightarrow |2A + 4B| = \sqrt 3  \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2}}  \Leftrightarrow {A^2} + 16AB + 13{B^2} = 0\).

Chọn \(B = 1\) ta được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{A =  - 8 + \sqrt {51} }\\{A =  - 8 - \sqrt {51} }\end{array}} \right.\).

\(\begin{array}{l}A =  - 8 + \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _1}:(\sqrt {51}  - 8)x + y + 26 - 4\sqrt {51}  = 0.\\A =  - 8 - \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _2}:(\sqrt {51}  + 8)x - y - 26 - 4\sqrt {51}  = 0.\end{array}\)