Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \(A,B\) và có tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(\Delta \), với \(A(0;4),B(2;6),\Delta :x - 2y + 5 = 0\).

Gọi đường tròn cần tìm là \((I;R)\) với \(I(a;b)\) là tâm đường tròn.

Đường tròn \((I;R)\) tiếp xúc với các trục \(Ox;Oy\) nên

\(d(I;Ox) = d(I;Oy) = R \Rightarrow |a| = |b| = R \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = R}\\{a =  - b = R}\end{array}.} \right.\)

Nếu \(a = b\) thì phương trình đường tròn có dạng \({(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\)

Mà điểm \(A(2; - 1) \in (I;R)\) nên \({(2 - a)^2} + {( - 1 - a)^2} = {a^2}\) \( \Rightarrow {a^2} - 2a + 5 = 0\) vô nghiệm.

Vậy trường hợp này không có giá trị thoả mãn.

Nếu \(a =  - b\) thì phương trình đường tròn có dạng \({(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}\)

Mà điểm \(A(2; - 1) \in (I;R)\) nên \({(2 - a)^2} + {( - 1 + a)^2} = {a^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{a = 5}\end{array}} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2\,;\,2} \right)\).

Vì \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {3\,;\,4} \right)\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,1} \right)\).

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).