Cho Parabol \((P):{y^2} = 16x\) và đường thẳng \((d):x = a(a > 0)\). Tìm \(a\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho $\widehat{AOB}={120}^{°}$

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\).

Đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) đi qua \(M(1;5)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = (1;1)\) là

\(d:x + y - 6 = 0.\)

- Tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \) nên tọa độ \(I\) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 6 = 0}\\{x - 2y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right).} \right.} \right.\)

- Bán kính: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{11}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy phương trình đường tròn là \((C):{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{3}} \right)^2} = \frac{{50}}{9}\).

a) Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in (P)\) suy ra \(y_M^2 = 8{x_M}\).

Từ phương trình \((P)\) có \(p = 4\) nên \(F(2;0)\).

Ta có \(FM = {x_M} + \frac{p}{2}\) suy ra \({x_M} = 1\), thay vào \(y_M^2 = 8{x_M} \Rightarrow {y_M} =  \pm 2\sqrt 2 \)

b) Vậy có hai điểm thỏa mãn là \({M_1}(1;2\sqrt 2 ),{M_2}(1; - 2\sqrt 2 )\).

c) Ta có \(M \in (P) \Rightarrow M\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)\) với \(a \ge 0\).

\({S_{\Delta OMF}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}OF.d(M;OF) = 8 \Leftrightarrow a = 8.\)

Vậy điểm cần tìm là \(M(8;8)\).

d) Với mọi điểm \(A \in (P),B \in \Delta \) ta luôn có \(AB \ge d(A;\Delta )\). \(A \in (P) \Rightarrow A\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)\) với \(a \ge 0\), khi đó \(d(A;\Delta ) = \frac{{\left| {4 \cdot \frac{{{a^2}}}{8} - 3 \cdot a + 5} \right|}}{5} = \frac{{{{(a - 3)}^2} + 1}}{{10}} \ge \frac{1}{{10}}\). Suy ra \(AB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(A\left( {\frac{9}{8};3} \right)\) và \(B\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\Delta \).

Đường thẳng đi qua \(A\) vuông góc với \(\Delta \) nhận \(\vec u(3;4)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(3\left( {x - \frac{9}{8}} \right) + 4(y - 3) = 0\) hay \(24x + 32y - 123 = 0\).

Do đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 3y + 5 = 0}\\{24x + 32y - 123 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{209}}{{200}}}\\{y = \frac{{153}}{{50}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(A\left( {\frac{9}{8};3} \right),B\left( {\frac{{209}}{{200}};\frac{{153}}{{50}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.