Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho parabol \((P):{y^2} = 8x\). Khi đó:

a) Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in (P)\) suy ra \(y_M^2 = 8{x_M}\).

Từ phương trình \((P)\) có \(p = 4\) nên \(F(2;0)\).

Ta có \(FM = {x_M} + \frac{p}{2}\) suy ra \({x_M} = 1\), thay vào \(y_M^2 = 8{x_M} \Rightarrow {y_M} =  \pm 2\sqrt 2 \)

b) Vậy có hai điểm thỏa mãn là \({M_1}(1;2\sqrt 2 ),{M_2}(1; - 2\sqrt 2 )\).

c) Ta có \(M \in (P) \Rightarrow M\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)\) với \(a \ge 0\).

\({S_{\Delta OMF}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}OF.d(M;OF) = 8 \Leftrightarrow a = 8.\)

Vậy điểm cần tìm là \(M(8;8)\).

d) Với mọi điểm \(A \in (P),B \in \Delta \) ta luôn có \(AB \ge d(A;\Delta )\). \(A \in (P) \Rightarrow A\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)\) với \(a \ge 0\), khi đó \(d(A;\Delta ) = \frac{{\left| {4 \cdot \frac{{{a^2}}}{8} - 3 \cdot a + 5} \right|}}{5} = \frac{{{{(a - 3)}^2} + 1}}{{10}} \ge \frac{1}{{10}}\). Suy ra \(AB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(A\left( {\frac{9}{8};3} \right)\) và \(B\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\Delta \).

Đường thẳng đi qua \(A\) vuông góc với \(\Delta \) nhận \(\vec u(3;4)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(3\left( {x - \frac{9}{8}} \right) + 4(y - 3) = 0\) hay \(24x + 32y - 123 = 0\).

Do đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 3y + 5 = 0}\\{24x + 32y - 123 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{209}}{{200}}}\\{y = \frac{{153}}{{50}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(A\left( {\frac{9}{8};3} \right),B\left( {\frac{{209}}{{200}};\frac{{153}}{{50}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.