Cho \(f\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (nhập đáp án vào ô trống)?

_

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với \(m = 0\) thì:

\(f\left( x \right) = 4x - 3\), do đó không thể có \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Trường hợp 2: Với \(m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai nên để \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) điều kiện là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - m\left( {m - 3} \right) \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{4 - m \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.\).

Vậy không tồn tại \(m\) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án cần nhập là: \(0\).