Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {4;1;1} \right),C\left( {1;1;5} \right)\). Biết điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(x - y + z - 10 = 0\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(a + b + c\).
A. \(\frac{{14}}{3}\).
B. \(\frac{{17}}{3}\).
C. \(\frac{{10}}{3}\).
D. \(\frac{{35}}{3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Theo bài ra ta có:
\(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {MI} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {IC} \left| = \right|2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\).
\( \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M{I_{{\rm{min}}}} \Rightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Xác định tọa độ điểm \(I\):
\(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)\).
\(\overrightarrow {IB} = \left( {4 - a;1 - b;1 - c} \right) \Rightarrow - 4\overrightarrow {IB} = \left( { - 16 + 4a; - 4 + 4b; - 4 + 4c} \right)\).
\(\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;1 - b;5 - c} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {IC} = \left( {5 - 5a;5 - 5b;25 - 5c} \right)\).
Mà \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - a - 16 + 4a + 5 - 5a = 0}\\{1 - b - 4 + 4b + 5 - 5b = 0}\\{1 - c - 4 + 4c + 25 - 5c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 10 = 0}\\{ - 2b + 2 = 0}\\{ - 2c + 22 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 5}\\{b = 1}\\{c = 11}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow I\left( { - 5;1;11} \right)\]
Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{x - y + z - 10 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{ - 5 + t - (1 - t) + 11 + t - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{t = \frac{5}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 1}}{3}}\\{y = \frac{{ - 2}}{3}}\\{z = \frac{{38}}{3}}\\{t = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\].
\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{{38}}{3}} \right)\]\[ \Rightarrow a + b + c = \frac{{35}}{3}\]. Chọn D.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{{11}}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{{11}}\).
D. \(\frac{{a\sqrt {66} }}{{66}}\).
Lời giải
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA}\end{array} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right.\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)} \right.\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).
Vì \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM \bot CD\).
Có \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{CD \bot SA}\\{SA,AM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AK \bot SM\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SM}\\{AK \bot CD}\\{CD,SM \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)} \right.\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AK\).
Vì \(AM\) là đường cao trong \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\) có \(AK\) là đường cao
\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\). Chọn B.
Câu 2
A. \(a = 2\).
B. \(a = 1\).
C. \(a = \frac{3}{2}\).
D. \(a = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Ta có
Và .
Hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\) khi và chỉ khi:
. Chọn B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập