Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 2} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn \(OC\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\).    

Ta có: \({\rm{tan}}\left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{{\rm{tan}}\widehat {BAM} + {\rm{tan}}\widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM} \cdot {\rm{tan}}\widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1\).

\( \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {MAN} = 45^\circ \)

Vì \(A \in AN:2x - y - 3 = 0\) nên \(A\left( {a;2a - 3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {a - \frac{{11}}{2};2a - \frac{7}{2}} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AN\) là \(\vec u = \left( {1;2} \right)\).

vì \(\widehat {MAN} = 45^\circ \) nên \(\left| {{\rm{cos}}\left( {\vec u,\overrightarrow {MA} } \right)} \right| = {\rm{cos}}{45^0} \Rightarrow \frac{{\left| {a - \frac{{11}}{2} + 4a - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {a - \frac{{11}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a - \frac{7}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow 2 \cdot {\left( {5a - \frac{{25}}{2}} \right)^2} = 5 \cdot \left( {5{a^2} - 25a + \frac{{85}}{2}} \right) \Rightarrow 25{a^2} - 125a + 100 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.\).

Vậy tổng giá trị hoành độ của các điểm \(A\) thỏa yêu cầu bài toán là \(1 + 4 = 5\). Chọn C.

Theo giả thiết, phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{2500}} + \frac{{{y^2}}}{{1600}} = 1 \Rightarrow y = \frac{4}{5}\sqrt {2500 - {x^2}} \).

Diện tích của cả khu vườn là: .

Diện tích phần trồng cây con là:

\({S_1} = \int\limits_0^{50} {\frac{4}{5}\sqrt {2500 - {x^2}} }  - {S_{OAB}} = 500\pi  - \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 50 = 500\pi  - 1000\;{m^2}\).

Diện tích phần trồng rau là: \({S_2} = S - {S_1} = 1500\pi  + 1000\left( {{m^2}} \right)\)

Tổng thu nhập của cả mảnh vườn là:

\(T = 2000 \cdot \left( {500\pi  - 1000} \right) + 4000 \cdot \left( {1500\pi  + 1000} \right) \approx 23991000\). Chọn B.