Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 2} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn \(OC\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\).
A. 78.
B. 76.
C. 74.
D. 72.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2;4} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(\left( P \right)\)
Dễ thấy \(A,B\) nằm cùng phía so với \(\left( P \right)\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\) và I là tâm của mặt cầu (\(S\)), khi đó I thuộc mặt phẳng trung trực \(\left( Q \right)\) của \(AB\) và \(N\left( {1;4;0} \right)\).
Vì \(AB \bot \left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)//\left( P \right)\), suy ra bán kính mặt cầu \(R = IC = d\left( {N,\left( P \right)} \right) = 5\).
Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 5 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\) nên \(H\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).
Ta có \(AN = 3 \Rightarrow HC = NI = \sqrt {A{I^2} - A{N^2}} = 4\) nên điểm \(C\) thuộc đường tròn \(\left( T \right)\) chứa trong \(\left( P \right)\) có tâm là \(H\) và bán kính \(r = HC = 4\).
Ta có \(OH = \sqrt {22} \). Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\left( P \right)\) thì \(OK = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = 3\).
\( \Rightarrow HK = \sqrt {O{H^2} - O{K^2}} = \sqrt {13} < r\) nên \(K\) nằm trong đường tròn \(\left( T \right)\).
Gọi E, F là các giao điểm của đường thẳng HK với đường tròn (T). Khi đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng OC chính là OE, OF.
Vậy \({M^2} + {m^2} = O{E^2} + O{F^2} = 2O{H^2} + \frac{{E{F^2}}}{2} = 2 \cdot 22 + \frac{{{8^2}}}{2} = 76\). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có: \({\rm{tan}}\left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{{\rm{tan}}\widehat {BAM} + {\rm{tan}}\widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM} \cdot {\rm{tan}}\widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1\).
\( \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {MAN} = 45^\circ \)
Vì \(A \in AN:2x - y - 3 = 0\) nên \(A\left( {a;2a - 3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {a - \frac{{11}}{2};2a - \frac{7}{2}} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AN\) là \(\vec u = \left( {1;2} \right)\).
vì \(\widehat {MAN} = 45^\circ \) nên \(\left| {{\rm{cos}}\left( {\vec u,\overrightarrow {MA} } \right)} \right| = {\rm{cos}}{45^0} \Rightarrow \frac{{\left| {a - \frac{{11}}{2} + 4a - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {a - \frac{{11}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a - \frac{7}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow 2 \cdot {\left( {5a - \frac{{25}}{2}} \right)^2} = 5 \cdot \left( {5{a^2} - 25a + \frac{{85}}{2}} \right) \Rightarrow 25{a^2} - 125a + 100 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.\).
Vậy tổng giá trị hoành độ của các điểm \(A\) thỏa yêu cầu bài toán là \(1 + 4 = 5\). Chọn C.
Lời giải
Số cách di chuyển từ \(A\) đến các nút của lưới ô vuông được ghi lại trên từng nút, trong đó số cách đếm mỗi nút từ điểm \(A\) bằng tổng số cách ghi ở nút ngay bên trái và ngay bên dưới.
Vậy số cách di chuyển từ \(A\) đến \(B\) mà không đi qua \(P\) và \(Q\) là 48 cách.
Đáp án cần nhập là: \(48\).
Câu 3
A. \(24,5^\circ {\rm{C}}\).
B. \(25^\circ {\rm{C}}\).
C. \(26^\circ {\rm{C}}\).
D. \(27,5^\circ {\rm{C}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 31904000.
B. 23991000.
C. 10566000.
D. 17635000
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. 86400.
B. 172800.
C. 14400.
D. 28800.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập