Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 2} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn \(OC\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2;4} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(\left( P \right)\)
Dễ thấy \(A,B\) nằm cùng phía so với \(\left( P \right)\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\) và I là tâm của mặt cầu (\(S\)), khi đó I thuộc mặt phẳng trung trực \(\left( Q \right)\) của \(AB\) và \(N\left( {1;4;0} \right)\).
Vì \(AB \bot \left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)//\left( P \right)\), suy ra bán kính mặt cầu \(R = IC = d\left( {N,\left( P \right)} \right) = 5\).
Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 5 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\) nên \(H\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).
Ta có \(AN = 3 \Rightarrow HC = NI = \sqrt {A{I^2} - A{N^2}} = 4\) nên điểm \(C\) thuộc đường tròn \(\left( T \right)\) chứa trong \(\left( P \right)\) có tâm là \(H\) và bán kính \(r = HC = 4\).
Ta có \(OH = \sqrt {22} \). Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\left( P \right)\) thì \(OK = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = 3\).
\( \Rightarrow HK = \sqrt {O{H^2} - O{K^2}} = \sqrt {13} < r\) nên \(K\) nằm trong đường tròn \(\left( T \right)\).
Gọi E, F là các giao điểm của đường thẳng HK với đường tròn (T). Khi đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng OC chính là OE, OF.
Vậy \({M^2} + {m^2} = O{E^2} + O{F^2} = 2O{H^2} + \frac{{E{F^2}}}{2} = 2 \cdot 22 + \frac{{{8^2}}}{2} = 76\). Chọn B.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có: \({\rm{tan}}\left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{{\rm{tan}}\widehat {BAM} + {\rm{tan}}\widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM} \cdot {\rm{tan}}\widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1\).
\( \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {MAN} = 45^\circ \)
Vì \(A \in AN:2x - y - 3 = 0\) nên \(A\left( {a;2a - 3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {a - \frac{{11}}{2};2a - \frac{7}{2}} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AN\) là \(\vec u = \left( {1;2} \right)\).
vì \(\widehat {MAN} = 45^\circ \) nên \(\left| {{\rm{cos}}\left( {\vec u,\overrightarrow {MA} } \right)} \right| = {\rm{cos}}{45^0} \Rightarrow \frac{{\left| {a - \frac{{11}}{2} + 4a - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {a - \frac{{11}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a - \frac{7}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow 2 \cdot {\left( {5a - \frac{{25}}{2}} \right)^2} = 5 \cdot \left( {5{a^2} - 25a + \frac{{85}}{2}} \right) \Rightarrow 25{a^2} - 125a + 100 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.\).
Vậy tổng giá trị hoành độ của các điểm \(A\) thỏa yêu cầu bài toán là \(1 + 4 = 5\). Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Số cách di chuyển từ \(A\) đến các nút của lưới ô vuông được ghi lại trên từng nút, trong đó số cách đếm mỗi nút từ điểm \(A\) bằng tổng số cách ghi ở nút ngay bên trái và ngay bên dưới.
Vậy số cách di chuyển từ \(A\) đến \(B\) mà không đi qua \(P\) và \(Q\) là 48 cách.
Đáp án cần nhập là: \(48\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 86400.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{2a}}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập