Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 2} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn \(OC\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\).
A. 78.
B. 76.
C. 74.
D. 72.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2;4} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(\left( P \right)\)
Dễ thấy \(A,B\) nằm cùng phía so với \(\left( P \right)\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\) và I là tâm của mặt cầu (\(S\)), khi đó I thuộc mặt phẳng trung trực \(\left( Q \right)\) của \(AB\) và \(N\left( {1;4;0} \right)\).
Vì \(AB \bot \left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)//\left( P \right)\), suy ra bán kính mặt cầu \(R = IC = d\left( {N,\left( P \right)} \right) = 5\).
Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 5 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\) nên \(H\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).
Ta có \(AN = 3 \Rightarrow HC = NI = \sqrt {A{I^2} - A{N^2}} = 4\) nên điểm \(C\) thuộc đường tròn \(\left( T \right)\) chứa trong \(\left( P \right)\) có tâm là \(H\) và bán kính \(r = HC = 4\).
Ta có \(OH = \sqrt {22} \). Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\left( P \right)\) thì \(OK = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = 3\).
\( \Rightarrow HK = \sqrt {O{H^2} - O{K^2}} = \sqrt {13} < r\) nên \(K\) nằm trong đường tròn \(\left( T \right)\).
Gọi E, F là các giao điểm của đường thẳng HK với đường tròn (T). Khi đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng OC chính là OE, OF.
Vậy \({M^2} + {m^2} = O{E^2} + O{F^2} = 2O{H^2} + \frac{{E{F^2}}}{2} = 2 \cdot 22 + \frac{{{8^2}}}{2} = 76\). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(145,5{\rm{\;cm}}\).
B. \(155,5{\rm{\;cm}}\).
C. \(165,5{\rm{\;cm}}\).
D. \(175,5{\rm{\;cm}}\).
Lời giải
Bảng số liệu có giá trị đại diện là
Trung bình chiều cao các học sinh trong lớp là:
\(\overline x = \frac{{6 \cdot 150 + 12 \cdot 160 + 16 \cdot 170 + 6 \cdot 180}}{{40}} = 165,5\) (cm). Chọn C.
Lời giải
Gọi \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là các biến cố gọi một sinh viên Giỏi, Khá, Trung Bình
Gọi \(B\): "sinh viên đó trả lời được 4 câu hỏi".
Ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_4^1}}{{C_{20}^1}} = \frac{1}{5},P\left( {{A_2}} \right) = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4},P\left( {{A_3}} \right) = \frac{3}{{20}}\).
Theo bài ta có: 4 sinh viên giỏi trả lời được \(100{\rm{\% }}\) các câu hỏi \( \Rightarrow \) trả lời 20 câu hỏi.
5 sinh viên khá trả lời \(80{\rm{\% }}\) câu hỏi \( \Rightarrow \) trả lời được \(20 \cdot 80{\rm{\% }} = 16\) câu hỏi.
3 sinh viên trung bình \(50{\rm{\% }}\) câu hỏi \( \Rightarrow \) Trả lời \(20 \cdot 50{\rm{\% }} = 10\) câu hỏi
Từ đó \(P\left( {B\mid {A_1}} \right) = \frac{{C_{20}^4}}{{C_{20}^4}} = 1;P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{364}}{{969}};P\left( {B\mid {A_3}} \right) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{14}}{{323}}\).
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( {B\mid {A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B\mid {A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {B\mid {A_3}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) = 1 \cdot \frac{1}{5} + \frac{{364}}{{969}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{{20}} \cdot \frac{{14}}{{323}} = \frac{{2911}}{{9690}}\)
Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là: \(P\left( {{A_2}\mid B} \right)\)
Áp dụng công thức Bayes \(P\left( {{A_2}\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid {A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{364}}{{969}} \cdot \frac{1}{4}}}{{\frac{{2911}}{{9690}}}} = \frac{{910}}{{2911}} \approx 0,31\). Chọn A.
Câu 3
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{2}{3}\).
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{5}{6}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(4,67\).
B. \(4,76\).
C. \(3,67\).
D. \(3,76\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập