Tìm số giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) sao cho bất phương trình \(\left( {m + 4} \right){x^2} - 2mx + 2m - 6 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Xét \(m + 4 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4\). Khi đó, bất phương trình đề cho trở thành:

\(8x - 14 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (điều này vô lý).

Xét \(m + 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 4\)

Khi đó: \(\left( {m + 4} \right){x^2} - 2mx + 2m - 6 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta '}} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 4 > 0}\\{{m^2} - \left( {m + 4} \right)\left( {2m - 6} \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 4}\\{ - {m^2} - 2m + 24 < 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 4}\\{\left[ \begin{array}{l}m <  - 6\\m > 4\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m > 4} \right.\).

Vì \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) và \(m > 4\) nên có 16 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(16\).