Bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 9}}{{125}} \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\frac{{{x^2} - 9}}{{27}}\) có bao nhiêu nghiệm có giá trị nguyên (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Điều kiện: \({x^2} - 9 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x <  - 3\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\frac{{{x^2} - 9}}{{27}}\). Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\frac{{{x^2} - 9}}{{27}} = t}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 9}}{{125}} \le t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 9 = {{27.5}^t}}\\{{x^2} - 9 \le {{125.3}^t}}\end{array} \Rightarrow 27 \cdot {5^t} \le 125 \cdot {3^t} \Rightarrow {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^t} \le \frac{{125}}{{27}} \Rightarrow t \le 3} \right.} \right.\).

Do đó \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\frac{{{x^2} - 9}}{{27}} \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 9 \le 3375 \Leftrightarrow {x^2} \le 3384 \Leftrightarrow  - 6\sqrt {94}  \le x \le 6\sqrt {94} \).

Mà \(\left[ \begin{array}{l}x > 3\\x <  - 3\end{array} \right.\) nên \(x \in \left[ { - 6\sqrt {94} ; - 3} \right) \cup \left( {3;6\sqrt {94} } \right]\).

Vậy có 110 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Đáp án cần nhập là: \(110\).