Cho hàm số  có bảng biến thiên như hình vẽ:        \(g'\left( x \right)\)

Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2m} \right|\) có 5 cực trị. Tính tổng các phần tử của \(S\)?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = a + b\) với a là số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), b là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Lời giải

Số cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = a + b\) với a là số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), b là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Xét hàm số: \(y = f\left( x \right) - 2m\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right) \Rightarrow y = f\left( x \right) - 2m\) có 2 cực trị \( \Rightarrow a = 2\)

Xét phương trình \(f\left( x \right) - 2m = 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 2m\) (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2m\)

Để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2m} \right|\) có 5 cực trị thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2m\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2m\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m = 4}\\{2m = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 2;2} \right\}\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là: \( - 2 + 2 = 0\)