Cho hàm số \(y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right)x - 3\) có hai điểm cực trị là \(A,B\). Gọi \(M,N\) là hai giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A,B\) và đường tròn \(\left( C \right):{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 16\) sao cho khoảng cách \(MN\) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm \(E\left( {2;1} \right)\) đến đường thẳng \(AB\) là:

 

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định phương trình đi qua hai điểm cực trị, xét vị trí tương đối của đường thẳng \(AB\) và

đường tròn \(\left( C \right)\)

Lời giải

\(y' = 3{x^2} - \left( {2m + 1} \right)\)

Hàm số đã cho có hai cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}\)

Ta có: \(y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = \frac{x}{3}.y' - \frac{2}{3}\left( {2m + 1} \right)x - 3\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: \(d:y = \frac{{ - 2}}{3}\left( {2m + 1} \right)x - 3\)

Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định \(K\left( {0; - 3} \right)\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

\(d\left( {I;d} \right) \le IK = \sqrt 2 < R = 4\) nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm \(M,N\)

Để khoảng cách \(MN\) lớn nhất thì đường thẳng d đi qua tâm \(I\). Khi đó \(MN = 2R\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d\):

\( - 2 = \frac{{ - 2}}{3}\left( {2m + 1} \right).\left( { - 1} \right) - 3 \Rightarrow m = \frac{5}{4}\)

Phương trình đường thẳng \(d:y = \frac{{ - 7}}{3}x - 3 \Leftrightarrow 7x + 3y + 9 = 0\)

Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(d:d\left( {E;d} \right) = \frac{{\left| {7.2 + 3.1 + 9} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {3^2}} }} = \frac{{13\sqrt {58} }}{{29}}\).