(2,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (\(\widehat A < 90^\circ \)). Kẻ \(BD \bot AC\) tại \(D\) và \(CE \bot AB\) tại \(E\).

(a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACE\), từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).

(b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Chứng minh \(\Delta BHC\) là tam giác cân. So sánh \(HB\) và \(HD\);

(c) Trên tia đối của tia \(EH\), lấy điểm \(P\) sao cho \(PH < HC\). Trên tia đối của tia \(DH\), lấy điểm \(Q\) sao cho \(QH = HP\). Chứng minh các đường thẳng \(BP\), \(AH\), \(CQ\) đồng quy.

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\), có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);

\[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));

\(\widehat {BAC}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cặp góc tương ứng).

b) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (câu a)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).

Do đó \(\widehat {ABC} - \widehat {ABD} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\) hay \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\).

\(\Delta BHC\) có \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) nên là tam giác cân tại \(H\).

Suy ra \(HB = HC\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(\Delta HCD\) vuông tại \(D\) nên cạnh huyền \(HC\) là lớn nhất.

Do đó \(HC > HD\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(HB > HD\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BP\) và \(CQ\).

Xét \(\Delta BPH\) và \(\Delta CQH\), có:

\(HP = HQ\) (giả thiết);

\(\widehat {BHP} = \widehat {CHQ}\) (hai góc đối đỉnh);

\(HB = HC\) (câu b).

Do đó \(\Delta BPH = \Delta CQH\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {HBP} = \widehat {HCQ}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) (câu b).

Suy ra \(\widehat {HBC} + \widehat {HBP} = \widehat {HCB} + \widehat {HCQ}\) hay \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\).

\(\Delta IBC\) có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).

Suy ra \(IB = IC\).

Mà \(AB = AC\) (câu a) và \(HB = HC\) (câu b).

Do đó ba điểm \(I\), \(A\), \(H\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Hay \(I\), \(A\), \(H\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(BP\), \(CQ\), \(AH\) đồng quy.