Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( { - 1;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?

Trả lời: 4

Vì \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt đoạn \(AB\) tại \(I\) nên

$\overrightarrow{BI}=-2\overrightarrow{AI}\iff \left\{\begin{array}{l}a-5=-2\left(a-1\right)\\ b+4=-2\left(b-2\right)\\ c+1=-2\left(c-3\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{3}\\ b=0\\ c=\frac{5}{3}\end{array}\right.\Rightarrow a+b+c=4$

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\) nên có dạng \(\left( Q \right):2x + 2y - z + d = 0,\,\,\left( {d \ne - 1} \right)\).

Mặt khác ta có \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + d} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {d + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 10\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Do đó \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) hoặc \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 10 = 0\).