Tìm nguyên hàm của các hàm số

a)\(f\left( x \right) = 2\sin x + 3x\);

b) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2}\);

c) \(f\left( x \right) = \sin 3x\).

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Năm phải trả.

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo m) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau một năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m.

Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc 72 km/h thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc \(a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t\) (m/s²), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2\) xung quanh trục \(Ox\).

Tính các tích phân sau

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \);

b) \(\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)dx} \);

c) \(\int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} \).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\), biết

a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x},\left( {x \ne 0} \right)\);

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}},\left( {x > 0} \right)\).