Cho hàm số \[f(x)\].Biết \[f(0) = 4\] và \[f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\], khi đó \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \] bằng?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Ta có \[f(x) = \int {f'(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx} \]\( = \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx} \)\[ = \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C\].
\[ \Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C\]
do\[f(0) = 4 \Rightarrow C = 4\].
Vậy \[f(x) = \sin x + 4x + 4\] nên \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx\]
\[ = \left. {( - \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8 - 4\sqrt 2 }}{8}\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left( {\frac{e}{2} - 1} \right)} } \).
Suy ra \(a = 2;b = - 1\). Do đó \(a + b = 1\).
Câu 2
Lời giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt = - 5{t^2} + 30t + C} \).
Do \(s\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\).
Vậy \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t\).
b) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là
\(s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) (m).
d) Đổi 72 km/h = 20 m/s.
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển từ từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳng là \(20 + 45 = 65\) (m).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập