Cho hàm số \[f(x)\].Biết \[f(0) = 4\] và \[f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\], khi đó \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \] bằng?
A. \[\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 8 - \sqrt 2 }}{8}\].
B. \[\frac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8 - 4\sqrt 2 }}{8}\].
C. \(\frac{{{\pi ^2} + 6\pi + 8}}{8}\).
D. \[\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 4\sqrt 2 }}{8}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Ta có \[f(x) = \int {f'(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx} \]\( = \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx} \)\[ = \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C\].
\[ \Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C\]
do\[f(0) = 4 \Rightarrow C = 4\].
Vậy \[f(x) = \sin x + 4x + 4\] nên \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx\]
\[ = \left. {( - \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8 - 4\sqrt 2 }}{8}\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(S = 7\).
B. \(S = 5\).
C. \(S = 8\).
D. \(S = 6\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\)
Câu 2
A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
B. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) - F\left( b \right)\).
C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) + F\left( b \right)\).
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Câu 3
A. \(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = - 2\).
B. \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx} = 1\).
C. \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx} = - 5\).
D. \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = 10\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(I = 5\).
B. \(I = 6\).
C. \(I = 2\).
D. \(I = 4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(P = 6\).
B. \(P = - 4\).
C. \(P = 4\).
D. \(P = - 6\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(I = 1\).
B. \(I = - 1\).
C. \(I = 3\).
D. \(I = \frac{7}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(P = - 3\).
B. \(P = 1\).
C. \(P = - 1\).
D. \(P = 3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập