(1,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức

(a) \(\left( {{x^2} - 8} \right)\left( {{x^3} + 2x + 4} \right)\);

(b) \(\left( {{x^2} - 6x + 8} \right):\left( {x + 3} \right)\).

a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);

\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));

\(\widehat {BAC}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AB = AC\) (chứng minh trên)

Nên \(AB - AE = AC - AD\) hay \(BE = CD\).

b) Do \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (câu a) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta CHD\) có:

\(\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \);

\(BE = CD\) (chứng minh câu a);

\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\)(chứng minh trên).

Do đó \(\Delta BHE = \Delta CHD\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta HDC\) vuông tại \(D\) có \(HC\) là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó \(HC > HD\).

Mà \(HB = HC\) (chứng minh trên) nên \(HB > HD.\)

c) Gọi \[P\] là giao điểm của \[HI\] và \[BC\].

\(\Delta HBC\) có hai đường trung tuyến \[BM\] và \[CN\] cắt nhau tại \[I\].

Do đó \[I\] là trọng tâm của \(\Delta HBC\) nên \[HP\] là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[H\] của tam giác.

Mà \(\Delta HBC\) cân tại \(H\) nên đường trung tuyến \[HP\] đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra \(HP \bot BC\) hay \(HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

• \(\Delta ABC\) có \[H\] là giao điểm của hai đường cao \[BD\] và \[CE\] nên \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó \(AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra ba điểm \(A,H,I\) cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại \(P\).

Hay ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc là: \(M = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\), trong đó chẳng hạn \(3\) là số chấm trên mặt xuất hiện của con xúc xắc. Tập hợp \(M\) có 6 phần tử.

a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(\left\{ {2;3;5} \right\}\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là: \(\left\{ {1;5} \right\}\).

b) Theo câu a có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) nên xác suất của biến cố \(A\) là \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) nên xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).