(0,5 điểm) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của đa thức \(A\left( x \right) = 6{x^3} + 15{x^2} - 4x - 8\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B\left( x \right) = 2x + 5\).

a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);

\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));

\(\widehat {BAC}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AB = AC\) (chứng minh trên)

Nên \(AB - AE = AC - AD\) hay \(BE = CD\).

b) Do \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (câu a) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta CHD\) có:

\(\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \);

\(BE = CD\) (chứng minh câu a);

\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\)(chứng minh trên).

Do đó \(\Delta BHE = \Delta CHD\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta HDC\) vuông tại \(D\) có \(HC\) là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó \(HC > HD\).

Mà \(HB = HC\) (chứng minh trên) nên \(HB > HD.\)

c) Gọi \[P\] là giao điểm của \[HI\] và \[BC\].

\(\Delta HBC\) có hai đường trung tuyến \[BM\] và \[CN\] cắt nhau tại \[I\].

Do đó \[I\] là trọng tâm của \(\Delta HBC\) nên \[HP\] là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[H\] của tam giác.

Mà \(\Delta HBC\) cân tại \(H\) nên đường trung tuyến \[HP\] đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra \(HP \bot BC\) hay \(HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

• \(\Delta ABC\) có \[H\] là giao điểm của hai đường cao \[BD\] và \[CE\] nên \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó \(AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra ba điểm \(A,H,I\) cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại \(P\).

Hay ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.

a) \[A\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 2 - {x^3} + 7{x^2} - x\]

\[ = 12{x^2} - x + 2.\]

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc là \(2\) và hệ số của lũy thừa bậc 0 là 2.

c) Ta có: \[B\left( x \right) = - 4 + 12{x^2} + 3 - {x^2} + 3x\]

\[ = 11{x^2} + 3x - 1.\]

\[C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\]

\[ = \left( {12{x^2} - x + 2} \right) - \left( {11{x^2} + 3x - 1} \right)\]

\[ = 12{x^2} - x + 2 - 11{x^2} - 3x + 1\]

\[ = {x^2} - 4x + 3.\]

Để tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\), ta cho \[C\left( x \right) = 0\]

Do đó \[{x^2} - 4x + 3 = 0\]

\[{x^2} - 3x - x + 3 = 0\]

\[x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\]

Suy ra \[x - 1 = 0\] hoặc \[x - 3 = 0\]

\(x = 1\) hoặc \(x = 3\)

Vậy đa thức \(C\left( x \right)\) có nghiệm là \[x \in \left\{ {1;3} \right\}\].