(1,0 điểm) Bạn An khảo sát một số bạn trong khối về hoạt động chiếm thời gian nhất trong tuần đầu tháng 6 vừa qua và thu được dữ liệu như trong biểu đồ sau:

(a) Biết tổng số bạn mà An đã hỏi là \(40\) bạn. Hãy tính và hoàn thiện bảng thống kê sau:

(b) Dựa vào bảng thống kê hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn số liệu thống kê đó.

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) ta có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \);

\(BD\) là cạnh chung;

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[AB = EB\] (hai cạnh tương ứng)

\(\Delta BAE\) có \[AB = EB\] nên là tam giác cân tại \[B\].

b) Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (chứng minh trên) suy ra \[AD = ED\] (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ADF\) vuông tại \[A\] có \[DF\] là cạnh huyền suy ra \[DF > AD\] hay \[DF > DE\].

c) Xét \(\Delta CKF\) có: \[FD = DK\] nên \(CD\) là đường trung tuyến của tam giác.

Mà \[CI = 2DI\] hay \(CI = \frac{2}{3}CD\) nên \(I\) là trọng tâm của \(\Delta CKF\).

Suy ra \[KI\] đi qua trung điểm của \[CF\] \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta BCF\) có \(CA,FE\) là hai đường cao của tam giác và \(CA,FE\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của tam giác.

Suy ra \(BD \bot CF\) hay \(BH \bot CF\)

Xét \(\Delta BHF\) và \(\Delta BHC\) có:

\(\widehat {BHF} = \widehat {BHC} = 90^\circ \);

\(BH\) là cạnh chung;

\(\widehat {HBF} = \widehat {HBC}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

Do đó \(\Delta BHF = \Delta BHC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(HF = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(H\) là trung điểm của \(CF\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[KI\] đi qua điểm \(H\), hay ba điểm \(H,I,K\) thẳng hàng.

a) \[P\left( x \right) = 2{x^2} - 3{x^3} + {x^2} + 3x{}^3 - x - 1 - 3x\]

\[ = \left( { - 3{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} + {x^2}} \right) + \left( { - x - 3x} \right) - 1\]

\[ = 3{x^2} - 4x - 1\]

\[Q\left( x \right) = - 3{x^2} + 2{x^3} - x - 2{x^3} - 3x - 2\]

\[ = \left( {2{x^3} - 2{x^3}} \right) - 3{x^2} + \left( { - x - 3x} \right) - 2\]

\[ = - 3{x^2} - 4x - 2\]

c) Ta có: \[g\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)\]

Suy ra \(g\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 4x - 1} \right) - \left( { - 3{x^2} - 4x - 2} \right)\)

\[ = 3{x^2} - 4x - 1 + 3{x^2} + 4x + 2\]

\( = 6{x^2} + 1\)

Do đó \[g\left( x \right) - \left( {6x + 1} \right) = 6{x^2} + 1 - 6x - 1 = 6{x^2} - 6x\]

Ta có: \[g\left( x \right) - 6x + 1 = 0\]

\[6{x^2} - 6x = 0\]

\[6x\left( {x - 1} \right) = 0\]

\(x = 0\) hoặc \(x = 1\)

Vậy \[x \in \left\{ {0;1} \right\}\] thì \[g\left( x \right) - \left( {6x + 1} \right) = 0\].