(1,0 điểm) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Xét các biến cố sau:

A: “Số tự nhiên viết ra không lớn hơn \[30\]”.

B: “Số tự nhiên viết ra là số chia hết cho cả \(2\) và \(9\)”.

(a) Viết tập hợp các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố trên.

(b) Tính xác suất của mỗi biến cố.

a) Do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(CA \bot BD\).

Mà \(AD = AB\) nên \(A\) là trung điểm của \(BD\)

Ta có \(CA \bot BD\) tại trung điểm \[A\] của \(BD\) nên \(CA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BD\).

Suy ra \[CB = CD\] nên \[\Delta BCD\] là tam giác cân tại \(C\).

b) Do \(BC\,{\rm{//}}\,DE\) nên \[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\](so le trong).

Xét \[\Delta BMC\]và \[\Delta EMD\] có:

\[\widehat {BMC} = \widehat {EMD}\] (đối đỉnh);

\[MD = MC\](giả thiết);

\[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta BMC = \Delta EMD\,\,\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)\]

Suy ra \[BC = ED\] (hai cạnh tương ứng).

Ta có \[BC + BD = BD + DE > BE\] (bất đẳng thức trong tam giác \(BDE\)).

d) Xét \(\Delta BDE\) có \[A\]là trung điểm \[BD\]; \[M\] là trung điểm \[BE\]

Suy ra \(G\) là trọng tâm \(\Delta BDE\)

Suy ra \[DM = 3GM\].

Do đó \[DC = 2DM = 6GM\].

a) \(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\)

\( = - {x^4} + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + 2{x^2} - x - 3\)

\( = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3\)

\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\)

\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 2x + 12\)

\( = {x^3} + 3{x^2} - 2x + 12\)

b) Đa thức \(B\left( x \right)\) có bậc là 3 và hệ số tự do là 12.

c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \[M\left( x \right) = \left( { - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2x + 12} \right)\]

\[M\left( x \right) = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3 - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 12\]

\[ = - {x^4} + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - x + 2x} \right) + \left( { - 3 - 12} \right)\]

\( = - {x^4} - {x^2} + x - 15\)

Ta có \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \(N\left( x \right) = M\left( x \right) + \left( {{x^4} + 15} \right)\)

Do đó \(N\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + x - 15 + {x^4} + 15\)

\( = - {x^2} + x\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\), ta cho \(N\left( x \right) = 0\)

Tức là \( - {x^2} + x = 0\)

\( - x\left( {x - 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).