(3,0 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \(\left( {AB < AC} \right)\). Trên tia đối của tia \[AB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD = AB\].

(a) Chứng minh rằng \[\Delta CBD\] là tam giác cân.

(b) Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\], đường thẳng qua \[D\] và song song với \[BC\] cắt đường thẳng \[BM\] tại \[E\]. Chứng minh rằng \[BC = DE\] và \[BC + BD > BE\].

(c) Gọi \[G\] là giao điểm của \[AE\] và \[DM\]. Chứng minh rằng \[DC = 6GM\].

a) \(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\)

\( = - {x^4} + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + 2{x^2} - x - 3\)

\( = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3\)

\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\)

\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 2x + 12\)

\( = {x^3} + 3{x^2} - 2x + 12\)

b) Đa thức \(B\left( x \right)\) có bậc là 3 và hệ số tự do là 12.

c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \[M\left( x \right) = \left( { - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2x + 12} \right)\]

\[M\left( x \right) = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3 - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 12\]

\[ = - {x^4} + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - x + 2x} \right) + \left( { - 3 - 12} \right)\]

\( = - {x^4} - {x^2} + x - 15\)

Ta có \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \(N\left( x \right) = M\left( x \right) + \left( {{x^4} + 15} \right)\)

Do đó \(N\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + x - 15 + {x^4} + 15\)

\( = - {x^2} + x\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\), ta cho \(N\left( x \right) = 0\)

Tức là \( - {x^2} + x = 0\)

\( - x\left( {x - 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số được viết ra là:

\(M = \left\{ {10;11;12;...;98;99} \right\}\). Tập hợp \(M\) có \[99 - 10 + 1 = 90\] phần tử.

a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(A = \left\{ {10;11;12;...;28;29;30} \right\}\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là: \(B = \left\{ {18;36;54;72;90} \right\}\).

b) Có \(30 - 10 + 1 = 21\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) nên xác suất của biến cố \(A\) là \(\frac{{21}}{{90}} = \frac{7}{{30}}\).

Có \(5\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) nên xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{5}{{90}} = \frac{1}{{18}}\).