Cho hàm số \(y = {x^3} - 2009x\) M₁ là điểm trên (C) có hoành độ \[{x_1} = 1\]Tiếp tuyến của (C) tại M₁ cắt (C) tại điểm M₂ khác M_1; tiếp tuyến của (C) tại M₂ cắt (C) tại điểm M₂ khác M_1; …; tiếp tuyến của (C) tại M_n-1 cắt (C) tại M_n khác M_n-1 (n = 4; 5; …). Gọi M_n(x _n, y _n).Tìm n để \(2009{x_n} + {y_n} + {2^{2013}} = 0\)

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến là:

\({x^3} - 2009x = (3x_1^2 - 2009)(x - {x_1}) + x_1^3 - 2009{x_1}(1)\)

Phương trình (1) có một nghiệm kép x₁ = 1 và một nghiệm x₂.

Từ (1): \({x^3} - 3x + 2 = 0\)

+ Áp dụng định lý Viète cho phương trình bậc 3, ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + {x_2} = 0\\x_1^2 + 2{x_1}{x_2} = - 3 \Leftrightarrow \\x_1^2{x_2} = - 2\end{array} \right.{x_2} = - 2{x_1}\]

Suy ra \({x_1} = 1,\;{x_2} = - 2,\;{x_3} = 4, \ldots ,\;{x_n} = {( - 2)^{{\kern 1pt} n - 1}}\)

Ta có \(2009{x_n} + {y_n} + {2^{2013}} = 0\; \Leftrightarrow 2009{x_n} + x_n^3 - 2009{x_n} + {2^{2013}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \;{( - 2)^{3n - 3}} = - {2^{2013}} \Leftrightarrow 3n - 3 = 2013 \Leftrightarrow n = 672\)

\( \Rightarrow \;n = 672\)