Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Để phục vụ cho Lễ hội mùa Thu “Huế vào Thu” – một trong những hoạt động của Festival Huế diễn ra vào tháng \(7\) năm \(2025\), một cơ sở sản xuất đèn lồng dự kiến làm \(300\) chiếc đèn lồng trong một thời gian đã định. Do được bổ sung thêm công nhân nên mỗi ngày cơ sở đó làm ra được nhiều hơn \(5\) chiếc đèn lồng so với dự kiến, vì vậy 3 ngày trước khi hết thời hạn, cơ sở sản xuất đã hoàn thành \(300\) chiếc đèn lồng. Hỏi theo dự kiến, mỗi ngày cơ sở đó phải làm ra bao nhiêu chiếc đèn lồng? (Biết rằng số chiếc đèn lồng làm ra mỗi ngày là bằng nhau và nguyên chiếc).

a) Ta có: \[MI \bot AB\] tại \[I\] (\[I\] thuộc \[AB\]).

Suy ra tam giác \[AMI\] vuông tại \[I\].

Do đó ba điểm \(A,M,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AM\] (1)

Chứng minh tương tự, ta được: ba điểm \(A,M,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AM\] (2)

Từ (1), (2), ta thu được tứ giác \[AIKM\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AM\].

b) Vì \(MI \bot AB\) tại \(I\)nên \(\widehat {AIE} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Suy ra \(\widehat {AIE} = \widehat {ANB} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta ANB\), có:

\(\widehat {EAI}\) chung;

\(\widehat {AIE} = \widehat {ANB} = 90^\circ \) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{{AE}}{{AB}}\).

Vậy \(AI.AB = AE.AN\) (điều phải chứng minh).

Ta có: \(\widehat {MAK} = \widehat {MIK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính \(AM\)).

Suy ra \(\widehat {MAN} = \widehat {MIK}\).

Mà \(\widehat {MAN} = \widehat {MBN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Do đó \(\,\widehat {MIK} = \widehat {MBN}\).

Vì tứ giác \(AIKM\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AM\) nên \(\widehat {MAI} + \widehat {MKI} = 180^\circ \) hay \(\widehat {MAB} + \widehat {MKI} = 180^\circ \) (3)

Vì tứ giác \(AMNB\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {MAB} + \widehat {MNB} = 180^\circ \) (4)

Từ (3), (4), ta suy ra \(\widehat {MKI} = \widehat {MNB}\).

Xét \(\Delta MKI\) và \(\Delta MNB\), có:

\(\,\widehat {MKI} = \widehat {MNB}\) (chứng minh trên);

\(\,\widehat {MIK} = \widehat {MBN}\) (chứng minh trên).

Vậy (g.g).

c) Kéo dài \(MH\) cắt \(AB\) tại \(C\).

Ta có: \(MI,AK\) là hai đường cao của \(\Delta MAC\).

Mà \(E\) là giao điểm của \(MI,AK\).

Khi đó \(E\) là trực tâm của \(\Delta MAC\).

Suy ra \(CE \bot MA\) (5)

Ta có: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Do đó \(AM \bot MB\) (6)

Từ (5), (6), ta suy ra \(CE\parallel MB\).

Áp dụng định lí Thalès, ta được: \(\frac{{IC}}{{CB}} = \frac{{IE}}{{EM}}\) (*)

Ta có: \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Suy ra \(AN \bot NB\).

Mà \(AN \bot HC\) (giả thiết).

Do đó \(HC\parallel NB\).

Áp dụng định lí Thalès, ta được: \(\frac{{IC}}{{CB}} = \frac{{IH}}{{HN}}\) (**)

Từ (*), (**), ta thu được: \(\frac{{IE}}{{EM}} = \frac{{IH}}{{HN}}\).

Áp dụng định lí Thalès đảo, ta được: \(EH\parallel MN\).

Vậy \(EH\parallel MN\) (điều phải chứng minh).

a) Bán kính bề mặt của thớt là: \[\frac{{34}}{2} = 17\,\,\left( {cm} \right)\].

Tổng diện tích hai mặt của thớt là: \[2.\pi {r^2} \approx 2.3,{14.17^2} = 1814,92\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].

Vậy tổng diện tích hai mặt của thớt là \[1814,92\,\,c{m^{\rm{2}}}\].

b) Cần ít nhất số gam bột baking soda để làm sạch cả hai mặt của thớt là:

\[\frac{{1814,92}}{{50}} = 36,2984 \approx 36,3\,\,\left( {gam} \right)\].

Vậy cần ít nhất \[36,3\,\,gam\] bột baking soda để làm sạch cả hai mặt của thớt.