Một xưởng sản xuất các thùng chứa hàng bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp với các kích thước chiều rộng, chiều dài, chiều cao lần lượt là \(a,b,h\,\,\left( {dm} \right)\). Biết tỉ số của chiều rộng và chiều dài là \(1:3\) và thể tích của thùng bằng \(\frac{9}{4}\,\,d{m^3}\). Để tốn ít vật liệu làm thùng nhất thì các kích thước của thùng là bao nhiêu \(dm\)?

a) Ta có: \[MI \bot AB\] tại \[I\] (\[I\] thuộc \[AB\]).

Suy ra tam giác \[AMI\] vuông tại \[I\].

Do đó ba điểm \(A,M,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AM\] (1)

Chứng minh tương tự, ta được: ba điểm \(A,M,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AM\] (2)

Từ (1), (2), ta thu được tứ giác \[AIKM\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AM\].

b) Vì \(MI \bot AB\) tại \(I\)nên \(\widehat {AIE} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Suy ra \(\widehat {AIE} = \widehat {ANB} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta ANB\), có:

\(\widehat {EAI}\) chung;

\(\widehat {AIE} = \widehat {ANB} = 90^\circ \) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{{AE}}{{AB}}\).

Vậy \(AI.AB = AE.AN\) (điều phải chứng minh).

Ta có: \(\widehat {MAK} = \widehat {MIK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính \(AM\)).

Suy ra \(\widehat {MAN} = \widehat {MIK}\).

Mà \(\widehat {MAN} = \widehat {MBN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Do đó \(\,\widehat {MIK} = \widehat {MBN}\).

Vì tứ giác \(AIKM\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AM\) nên \(\widehat {MAI} + \widehat {MKI} = 180^\circ \) hay \(\widehat {MAB} + \widehat {MKI} = 180^\circ \) (3)

Vì tứ giác \(AMNB\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {MAB} + \widehat {MNB} = 180^\circ \) (4)

Từ (3), (4), ta suy ra \(\widehat {MKI} = \widehat {MNB}\).

Xét \(\Delta MKI\) và \(\Delta MNB\), có:

\(\,\widehat {MKI} = \widehat {MNB}\) (chứng minh trên);

\(\,\widehat {MIK} = \widehat {MBN}\) (chứng minh trên).

Vậy (g.g).

c) Kéo dài \(MH\) cắt \(AB\) tại \(C\).

Ta có: \(MI,AK\) là hai đường cao của \(\Delta MAC\).

Mà \(E\) là giao điểm của \(MI,AK\).

Khi đó \(E\) là trực tâm của \(\Delta MAC\).

Suy ra \(CE \bot MA\) (5)

Ta có: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Do đó \(AM \bot MB\) (6)

Từ (5), (6), ta suy ra \(CE\parallel MB\).

Áp dụng định lí Thalès, ta được: \(\frac{{IC}}{{CB}} = \frac{{IE}}{{EM}}\) (*)

Ta có: \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

Suy ra \(AN \bot NB\).

Mà \(AN \bot HC\) (giả thiết).

Do đó \(HC\parallel NB\).

Áp dụng định lí Thalès, ta được: \(\frac{{IC}}{{CB}} = \frac{{IH}}{{HN}}\) (**)

Từ (*), (**), ta thu được: \(\frac{{IE}}{{EM}} = \frac{{IH}}{{HN}}\).

Áp dụng định lí Thalès đảo, ta được: \(EH\parallel MN\).

Vậy \(EH\parallel MN\) (điều phải chứng minh).

Quan sát bảng thống kê, ta có:

Tần số bạn Nam sử dụng Internet:

⦁ Từ \(0\) đến dưới \(1\) giờ là \(3\) ngày;

⦁ Từ \(1\) đến dưới \(2\) giờ là \(6\)ngày;

⦁ Từ \(2\) đến dưới \(3\) giờ là \(9\) ngày;

⦁ Từ \(3\) đến dưới \(4\) giờ là \(8\) ngày;

⦁ Từ \(4\) đến dưới \(5\) giờ là \(4\) ngày.

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Tần số tương đối bạn Nam sử dụng Internet:

⦁ Từ \(0\) đến dưới \(1\) giờ là: \(\frac{3}{{30}}.100\% = 10\% \);

⦁ Từ \(1\) đến dưới \(2\) giờ là: \(\frac{6}{{30}}.100\% = 20\% \);

⦁ Từ \(2\) đến dưới \(3\) giờ là: \(\frac{9}{{30}}.100\% = 30\% \);

⦁ Từ \(3\) đến dưới \(4\) giờ là: \(\frac{8}{{30}}.100\% \approx 26,7\% \);

⦁ Từ \(4\) đến dưới \(5\) giờ là: \(\frac{4}{{30}}.100\% \approx 13,3\% \).

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau: