Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Để chở hết 60 tấn quà tặng đồng bào nghèo ở vùng cao, một đội xe dự định sử dụng một số xe cùng loại. Trước khi khởi hành, có 2 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn so với dự định 1 tấn hàng mới hết. Hỏi theo kế hoạch đội dự định sử dụng bao nhiêu xe để vận chuyển?

Chứng minh \(\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) .

\(\Delta ADB\) vuông nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\).

\(\Delta AEB\) vuông nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\).

Suy ra 4 điểm \(A,\;B,\;D,\;E\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\).

b) \[\left( O \right)\] có: \(\widehat {ACK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACK}\) (hai góc nội tiếp chắn cung \(AC\))

Chứng minh được (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) nên \(AB.AC\; = \;2AD.R\)

c)

\[\Delta BOC\] cân tại \[O\] có \[OM\] là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra \[OM\] vuông góc với \[BC\], nên \(\widehat {OMB} = 90^\circ \).

\(\widehat {OFB} = 90^\circ \)

Suy ra tứ giác \[BOFM\] nội tiếp

Tứ giác \[BOFM\] nội tiếp nên \(\widehat {BOM} = \widehat {BFM}\)

Mà \(\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\), \(\widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\)

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {BFM}\) (1)

Tứ giác \[AEFB\] nội tiếp nên \(\widehat {AFE} = \widehat {ABE}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AFE} + \widehat {BFM} = \widehat {ABE} + \widehat {BAE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AFE} + \widehat {BFM} + \widehat {AFB} = 180^\circ \) nên \(E,\;F,\;M\) thẳng hàng.

a) Với \[m = 1\] phương trình có dạng \({x^2} - 3x + 1 = 0\).

Phương trình có \[\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).

b) Phương trình đã cho có \[\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 9--4m.\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta > 0\] hay \(m < \frac{9}{4}\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài, \({x_1} - 2{x_2} = 6\) nên \[{x_1} = 2{x_2} + 6\], thay vào (1) ta có:

\(2{x_2} + 6 + {x_2} = 3\) nên \({x_2} = - 1\).

Suy ra \[{x_1} = 4\].

Thay \[{x_1} = 4\] và \({x_2} = - 1\) vào (2), ta được: \(m = - 4\).