Cho \[\Delta ABC\] nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\]. Hai đường cao \[AD,{\rm{ }}BE\] của \[\Delta ABC\] cắt nhau tại \[H\].

(a) Chứng minh \[A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}D,{\rm{ }}B\] cùng thuộc một đường tròn.

(b) Kẻ đường kính \[AK\] của \[\left( O \right)\]. Chứng minh và \[AB.AC = 2AD.R\].

(c) Gọi \[F\] là hình chiếu của điểm \[B\] trên \[AK,{\rm{ }}M\] là trung điểm của \[BC\]. Chứng minh \[BOFM\] là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra ba điểm \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}M\] thẳng hàng.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Để chở hết 60 tấn quà tặng đồng bào nghèo ở vùng cao, một đội xe dự định sử dụng một số xe cùng loại. Trước khi khởi hành, có 2 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn so với dự định 1 tấn hàng mới hết. Hỏi theo kế hoạch đội dự định sử dụng bao nhiêu xe để vận chuyển?

Cho hàm số \[y = \left( {m-3} \right){x^2}\] (với \[m \ne 3)\] có đồ thị là parabol \[\left( P \right)\].

(a) Tìm \[m\] để \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[K\left( {-3;{\rm{ }}18} \right).\]

(b) Với \[m\] tìm được ở câu a, tìm toạ độ giao điểm của \[\left( P \right)\] với đường thẳng \[\left( d \right):y = -7x + 4\].

Cho hai biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}}$ và $Q=\frac{6-8\sqrt{x}}{x-9}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$ với x>0, x\ne 9.

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x=25.

2) Rút gọn biểu thức Q.

3) Chứng tỏ rằng không có giá trị nguyên của x để biểu thức T=P.Q đạt giá trị nguyên dương.

Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + m = 0\).

(a) Giải phương trình với \[m = 1\].

(b) Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn \({x_1} - 2{x_2} = 6\).

Một doanh nghiệp sản xuất thùng tôn có dạng hình trụ. Hình trụ đó có đường kính đáy 0,6 m và chiều cao 1 m (lấy \[\pi \approx 3,14\]).

(a) Tính thể tích của một thùng tôn.

(b) Chi phí để sản xuất mỗi thùng tôn đó (không tính nắp và đáy) là 100 nghìn đồng/m². Tính số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất 500 thùng tôn đó.

Một trang tạp chí có dạng hình chữ nhật. Ban biên tập cần thiết kế sao cho lề trên và lề dưới đều là 3 cm, lề trái và lề phải đều là 2 cm thì phần còn lại chứa chữ cũng có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Hỏi chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang tạp chí lúc đầu lần lượt là bao nhiêu để diện tích trang tạp chí là nhỏ nhất?