Một trang tạp chí có dạng hình chữ nhật. Ban biên tập cần thiết kế sao cho lề trên và lề dưới đều là 3 cm, lề trái và lề phải đều là 2 cm thì phần còn lại chứa chữ cũng có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Hỏi chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang tạp chí lúc đầu lần lượt là bao nhiêu để diện tích trang tạp chí là nhỏ nhất?

Cho \[\Delta ABC\] nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\]. Hai đường cao \[AD,{\rm{ }}BE\] của \[\Delta ABC\] cắt nhau tại \[H\].

(a) Chứng minh \[A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}D,{\rm{ }}B\] cùng thuộc một đường tròn.

(b) Kẻ đường kính \[AK\] của \[\left( O \right)\]. Chứng minh và \[AB.AC = 2AD.R\].

(c) Gọi \[F\] là hình chiếu của điểm \[B\] trên \[AK,{\rm{ }}M\] là trung điểm của \[BC\]. Chứng minh \[BOFM\] là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra ba điểm \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}M\] thẳng hàng.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Để chở hết 60 tấn quà tặng đồng bào nghèo ở vùng cao, một đội xe dự định sử dụng một số xe cùng loại. Trước khi khởi hành, có 2 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn so với dự định 1 tấn hàng mới hết. Hỏi theo kế hoạch đội dự định sử dụng bao nhiêu xe để vận chuyển?

Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + m = 0\).

(a) Giải phương trình với \[m = 1\].

(b) Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn \({x_1} - 2{x_2} = 6\).

Cho hàm số \[y = \left( {m-3} \right){x^2}\] (với \[m \ne 3)\] có đồ thị là parabol \[\left( P \right)\].

(a) Tìm \[m\] để \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[K\left( {-3;{\rm{ }}18} \right).\]

(b) Với \[m\] tìm được ở câu a, tìm toạ độ giao điểm của \[\left( P \right)\] với đường thẳng \[\left( d \right):y = -7x + 4\].

Một doanh nghiệp sản xuất thùng tôn có dạng hình trụ. Hình trụ đó có đường kính đáy 0,6 m và chiều cao 1 m (lấy \[\pi \approx 3,14\]).

(a) Tính thể tích của một thùng tôn.

(b) Chi phí để sản xuất mỗi thùng tôn đó (không tính nắp và đáy) là 100 nghìn đồng/m². Tính số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất 500 thùng tôn đó.

Cho hai biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}}$ và $Q=\frac{6-8\sqrt{x}}{x-9}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$ với x>0, x\ne 9.

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x=25.

2) Rút gọn biểu thức Q.

3) Chứng tỏ rằng không có giá trị nguyên của x để biểu thức T=P.Q đạt giá trị nguyên dương.