Ba lực có độ lớn lần lượt là F₁ = 3 N, F₂ = 4 N, và F₃ = 5 N cùng tác dụng tại một điểm trên một vật. Các góc giữa các lực có thể thay đổi. Giá trị độ lớn nhỏ nhất của lực tổng hợp mà ba lực này có thể tạo ra là bao nhiêu?

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'(5,{\mkern 1mu} 0,{\mkern 1mu} 0)\\B'(5,{\mkern 1mu} 10,{\mkern 1mu} 0)\end{array} \right. \Rightarrow A'B' = 10.\)

Phương trình mặt phẳng (Oxy)  là z = 0

Do \({z_A} \cdot {z_B} > 0 \Rightarrow A,B\)  cùng phía so với  (Oxy).

Gọi A', B' là hình chiếu của A, B lên (Oxy):

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{A}^{\text{'}}(5,0,0)\\ B^{\text{'}}(5,10,0)\end{array}\right.\Rightarrow A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=10.$

Ta có:\(AA' = 2,\qquad BB' = 4.\)

Đặt MA' = x, MB' = y.

Lại có: \(A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A', M, N, B' thẳng hàng:

\( \Rightarrow x + y \ge A'B' - MN = 8.\)

Vậy:\(AM + BN \ge \sqrt {{{(MA' + NB')}^2} + {{(AA' + BB')}^2}}  = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10.\)

\[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {{{(3\tan x + 2\cot x)}^2}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}x + 12 + 4{{\cot }^2}x)} dx\]

\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}x + 9)} dx + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(4 + 4{{\cot }^2}x)} dx - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dx} \)

\[ = 9\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx + 4\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dx} \]

\( = 9\left( {\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4}} \right) - 4\left( {\cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{4}} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = 9(\sqrt 3 - 1) - 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - 1} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = - 5 + 23\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{\pi }{{12}}.\)

Vậy  𝑎 = − 5 , 𝑏 = 23 , 𝑐=− 1 .

Vậy T= a + b + c = 17