Hỗn số \(3\frac{6}{7}\) viết dưới dạng phân số là

(0,5 điểm) Cho \[S = \frac{1}{{3.6}} + \frac{1}{{6.9}} + ... + \frac{1}{{\left( {3x - 3} \right).3x}}\] (với \[x \in \mathbb{N}*,x \ge 2\]). Chứng minh rằng \[S < \frac{1}{9}\].

Trong các phân số sau, phân số nào là nghịch đảo của phân số \(\frac{{ - 6}}{5}\)?

(2,0 điểm) Thực hiện phép tính, tính nhanh (nếu có thể):

(a) \(\left( {\frac{3}{5} - \frac{8}{{15}}} \right):\frac{2}{3}\).

(b) \(\frac{{23}}{{18}} + \frac{{ - 41}}{{15}} - \frac{{23}}{{18}} + \frac{{11}}{{15}} + \frac{8}{5}\).

(c) \(4\frac{1}{3}.\frac{{15}}{{29}} + 4\frac{1}{3}.\frac{{14}}{{29}} - \frac{1}{3}\).

(2,5 điểm) Cho đoạn thẳng \[MA = 7\] cm, điểm \[N\] nằm giữa hai điểm \[M\] và \[A\] sao cho\[MN = 3{\rm{\;cm}}.\]

(a) Tính độ dài đoạn thẳng\[AN\].

(b) Gọi \[I\] là trung điểm đoặn thẳng \[AN\]. So sánh độ dài hai đoạn thẳng \[NI\] và \[MN\].

(c) Gọi \[Mx\] là tia đối của tia\[MA\], lấy điểm \[B\] trên tia \[Mx\] sao cho\[MB = 5\] cm. Hỏi \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng nào? Vì sao?

(1,5 điểm) Tìm \(x\), biết:

(a) \(3x - \frac{5}{6} = \frac{{ - 14}}{{21}}:\frac{2}{7}\).

(b) \(\frac{{x - 1}}{{12}} = \frac{{ - 5}}{4}\).

(1,5 điểm) Một vận động viên điền kinh chạy trong ba ngày với tổng quãng đường là \({\rm{65 km}}\). Ngày đầu tiên anh ấy chạy được \(\frac{2}{5}\) tổng quãng đường.

(a) Hỏi ngày đầu tiên anh ấy chạy được bao nhiêu km?

(b) Biết \(\frac{3}{8}\) quãng đường chạy trong ngày thứ hai là \({\rm{9 km}}\). Tính quãng đường anh ấy chạy trong ngày thứ ba.

Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần \(\frac{1}{4};\frac{{ - 4}}{3};\frac{5}{2};0\) ta được: