Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC (Tham khảo hình vẽ dưới).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: _____

Đáp án đúng là: 0,32

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD,I\) là giao điểm của \(MN\) và \(OC. \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {SOI} \right)\).
Kẻ \(OH \bot SI\left( {H \in SI} \right) \Rightarrow OH \bot \left( {SMN} \right)\)
\( \Rightarrow DB//MN \Rightarrow BD//\left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {SM;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SMB} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SMN} \right)} \right) = OH\).
Ta có: \(OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};SO = \sqrt {S{C^2} - C{O^2}} = \sqrt {{1^2} - \frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\( \Rightarrow {\rm{OI}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = 10 \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)\( \Rightarrow d\left( {SM,BD} \right) = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \approx 0.32\)

Đáp án cần điền là: 0,32