Cho \(\left( P \right):4x - 4y - 6z + 1 = 0\), đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\{ \begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2t}\\{x = 0}\end{array}\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) : \(\{ \begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 3t'}\\{y = 2 - 2t'}\\{x = 1 + 2t'}\end{array}\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\).

Giải chi tiết

\(A \in {d_1}\) nên \(A\;\left( {1 - t;2t;\;0} \right)\).

\(B \in {d_2}\) nên \(B\;\left( {3 - 3t';2 - 2t';\;1 + 2t'} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + t - 3t';2 - 2t - 2t';1 + 2t'} \right)\).
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {4; - 4; - 6} \right)\).
\(AB \bot \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} = k.\vec n\) hay \(\{ \begin{array}{*{20}{l}}{2 + t - 3t' = 4k}\\{2 - 2t - 2t' = - 4k}\\{1 + 2t' = - 6k}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{t - 3t' - 4k = - 2}\\{t + t' - 2k = 1}\\{2t' + 6k = - 1}\end{array}\).
Giải ra ta được \(t = - 1,t' = 1,k = - \frac{1}{2}\).
Do đó, \(A\left( {2; - 2;0} \right),B\left( {0;0;3} \right)\).
Vậy \(AB = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 2)}^2} + {{(3 - 0)}^2}} = \sqrt {17} \).

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S