Người ta dùng máy đào hầm (TBM) để đào hai đường hầm hình trụ tròn xoay đường kính \(12m\), mỗi đường hầm đều có chiều dài bằng \(20m\), có hai trục cắt nhau và vuông góc với nhau. Tính thể tích khối đất đào được.

Giải chi tiết

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) vào hai đường hầm hình trụ sao cho hai trục \(Ox,Oy\) trùng với hai trục của hai hình trụ.

Thể tích của hai khối trụ là: \({V_1} + {V_2} = 2 \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} \cdot 20 = 1440\pi \left( {{m^3}} \right)\).
Cắt phần chung của hai khối trụ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại \(x = {x_0}\) ta được thiết diện là hình vuông có độ dài cạnh là \(2 \cdot \sqrt {36 - x_0^2} \).
Diện tích mặt cắt là \(S = 4\). ( \(36 - x_0^2\) )với \( - 6 \le {x_0} \le 6\).
Thể tích phần chung của hai hình trụ là: .
Vậy thể tích khối đất đào được là: \(1440\pi - 1152 \approx 3371,89\left( {{m^3}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D