Cho hàm số y \( = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\frac{{{m^3} + 5m}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = {f^2}\left( x \right) + 6\) có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

Giải chi tiết

Ta có: \(\frac{{{m^3} + 5m}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = {f^2}\left( x \right) + 6 \Leftrightarrow {m^3} + 5m = {\left( {\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} } \right)^3} + 5\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} \left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(h\left( t \right) = {t^3} + 5t \Rightarrow h'\left( t \right) = 3{t^2} + 5 > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow h\left( m \right) = h\left( {\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = m\)
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge 1\) khi đó ta có

\(\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = m \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \sqrt {{m^2} - 1} }\\{f\left( x \right) = - \sqrt {{m^2} - 1} }\end{array}\)Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = - \sqrt {{m^2} - 1} \) có 1 nghiệm duy nhất
Để phương trình có đúng 4 nghiệm thực phân biệt\({\rm{\;}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{m^2} - 1} \) có 3 nghiệm thực phân biệt.
\( \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{0 < \sqrt {{m^2} - 1} < 1}\\{3 < \sqrt {{m^2} - 1} < 5}\end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{1 < {m^2} < 2}\\{10 < {m^2} < 26}\end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{1 < m < \sqrt 2 }\\{\sqrt {10} < m < \sqrt {26} }\end{array}\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: B