Một công ty du lịch đặt hàng cho một cơ sở sản xuất lều bạt một lô hàng gồm 12 chiếc lều bạt du lịch giống hệt nhau, hình chóp tứ giác đều mà thể tích trong mỗi chiếc lều là \(18\,\,{m^2}\)(không tính đến đường viền, nếp gấp và lều không may bạt ở đáy). Hỏi cơ sở sản xuất lều bạt cần ít nhất bao nhiêu \({m^2}\) bạt? (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị)

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, nên đáy \(ABCD\) là hình vuông, và chiều cao là \(h = SO\). Gọi chiều dài cạnh hình vuông \(ABCD\) bằng \(a\,\left( m \right)\,,\,\,\,\left( {a > 0} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\)

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.h = 18\,\, \Leftrightarrow h = \frac{{54}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{54}}{{{a^2}}}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(S{M^2} = S{O^2} + O{M^2} = {\left( {\frac{{54}}{{{a^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{2916}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}\)\({S_{\Delta SCD}} = \frac{1}{2}.SM.CD = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{{2916}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}} \).

Vậy diện tích xung quanh của khối chóp \(S.ABCD\) là: \({S_{xq}} = 4{S_{\Delta SCD}} = 2a.\sqrt {\frac{{2916}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \sqrt {\frac{{11664}}{{{a^2}}} + {a^4}} \)

Để \({S_{xq}}\) nhỏ nhất, thì \(f(a) = \sqrt {\frac{{11664}}{{{a^2}}} + {a^4}} \) đạt giá trị nhỏ nhất với \(a > 0\)

Đặt \(x = {a^2}\,\,\left( {x > 0} \right)\), ta có hàm số \(\begin{array}{l}g(x) = \frac{{11664}}{x} + {x^2} = \frac{{5832}}{x} + \frac{{5832}}{x} + {x^2} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{5832}}{x}.\frac{{5832}}{x}.{x^2}}} \Leftrightarrow g(x) \ge 3.\sqrt[3]{{{{5832}^2}}}\\ \Leftrightarrow g(x) \ge 972\end{array}\)

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{5832}}{x} = {x^2} \Leftrightarrow {x^3} = 5832 \Leftrightarrow x = 18 \Rightarrow {a^2} = 18 \Leftrightarrow a = 3\sqrt 2 \).

Khi đó GTNN của hàm \(f(a)\) là: \(\mathop {\min }\limits_{a > 0} f\left( a \right) = f(3\sqrt 2 ) = 18\sqrt 3 \)

Vậy diện tích xung quanh của khối chóp \(S.ABCD\) đạt GTNN bằng: \({S_{xq}} = 18\sqrt 3 \,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Do vậy để hoàn thành 12 cái lều bạt theo yêu cầu của bài toán, thì cần chuẩn bị tấm bạt có diện tích là  \({S_{bat}} = 12 \times 18\sqrt 3  \approx 374\,\,\left( {{m^2}} \right)\).