Trong ngày giới thiệu các câu lạc bộ (CLB) ngoại khoá của trường THPT, thống kê việc đăng kí vào 3 CLB gồm bóng đá, cầu lông và cờ vua thì có tổng là 70 học sinh, mỗi học sinh muốn tham gia vào CLB nào thì phải viết 1 đơn đăng kí gửi CLB đó. Tổng cả 3 CLB thu được 155 đơn; hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh đăng kí tham gia cả 3 CLB.

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, nên đáy \(ABCD\) là hình vuông, và chiều cao là \(h = SO\). Gọi chiều dài cạnh hình vuông \(ABCD\) bằng \(a\,\left( m \right)\,,\,\,\,\left( {a > 0} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\)

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.h = 18\,\, \Leftrightarrow h = \frac{{54}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{54}}{{{a^2}}}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(S{M^2} = S{O^2} + O{M^2} = {\left( {\frac{{54}}{{{a^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{2916}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}\)\({S_{\Delta SCD}} = \frac{1}{2}.SM.CD = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{{2916}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}} \).

Vậy diện tích xung quanh của khối chóp \(S.ABCD\) là: \({S_{xq}} = 4{S_{\Delta SCD}} = 2a.\sqrt {\frac{{2916}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \sqrt {\frac{{11664}}{{{a^2}}} + {a^4}} \)

Để \({S_{xq}}\) nhỏ nhất, thì \(f(a) = \sqrt {\frac{{11664}}{{{a^2}}} + {a^4}} \) đạt giá trị nhỏ nhất với \(a > 0\)

Đặt \(x = {a^2}\,\,\left( {x > 0} \right)\), ta có hàm số \(\begin{array}{l}g(x) = \frac{{11664}}{x} + {x^2} = \frac{{5832}}{x} + \frac{{5832}}{x} + {x^2} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{5832}}{x}.\frac{{5832}}{x}.{x^2}}} \Leftrightarrow g(x) \ge 3.\sqrt[3]{{{{5832}^2}}}\\ \Leftrightarrow g(x) \ge 972\end{array}\)

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{5832}}{x} = {x^2} \Leftrightarrow {x^3} = 5832 \Leftrightarrow x = 18 \Rightarrow {a^2} = 18 \Leftrightarrow a = 3\sqrt 2 \).

Khi đó GTNN của hàm \(f(a)\) là: \(\mathop {\min }\limits_{a > 0} f\left( a \right) = f(3\sqrt 2 ) = 18\sqrt 3 \)

Vậy diện tích xung quanh của khối chóp \(S.ABCD\) đạt GTNN bằng: \({S_{xq}} = 18\sqrt 3 \,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Do vậy để hoàn thành 12 cái lều bạt theo yêu cầu của bài toán, thì cần chuẩn bị tấm bạt có diện tích là  \({S_{bat}} = 12 \times 18\sqrt 3  \approx 374\,\,\left( {{m^2}} \right)\).