Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x - 2001) - 2019} \right|\)có bao nhiêu điểm cực trị?

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số y=|f(x)| bằng tổng số cực trị của hàm số y=f(x) và số nghiệm của phương trình f(x)=0

Giải chi tiết

Ta có công thức tổng quát: \(S = a + b,\)trong đó:

a là số điểm cực trị của y=f(x), b là số nghiệm của f(x)=0.

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y=f(x) có \(a = 2\)điểm cực trị.

Xét phương trình \(f(x - 2001) - 2019 = 0 \Leftrightarrow f(x - 2001) = 2019.\)

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị \(y = f(x - 2001)\)và đường thẳng \(y = 2019\)

Đồ thị y=f(x-2001) là đồ thị y=f(x) tịnh tiến theo chiều dương trục Ox 2001 đơn vị.

Từ bảng biến thiên, đường thẳng y=2019 cắt đồ thị y=f(x-2001) tại b=1 điểm không tiếp xúc.

Vậy số cực trị của hàm số \(y = \left| {f(x - 2001) - 2019} \right|\) là \(S = a + b = 2 + 1 = 3.\)

Đáp án cần điền là: 3

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Số cực trị của \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) bằng:

số cực trị của \(f\) + số nghiệm của \(f\left( x \right) = 0\;\)(không tiếp xúc)

o   Tại nghiệm tiếp xúc (bội chẵn), \(\left| f \right|\) không tạo cực trị mới.

·       Dựa bảng biến thiên của \(f\): đếm cực trị của\(\;f\), rồi đếm nghiệm \(f = 0\) có đổi dấu.