Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right);\left( {{y_n}} \right)\) xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \sqrt 3 }\\{{y_1} = \sqrt 3 }\end{array}\) và \(\begin{array}{*{20}{l}}{{x_n} = {x_{n - 1}} + \sqrt {1 + x_{n - 1}^2} }\\{{y_n} = \frac{{{y_{n - 1}}}}{{1 + \sqrt {1 + y_{n - 1}^2} }}}\end{array}{\rm{\;}},\)

\(\forall n \ge 2\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Giải chi tiết

\({x_1} = {\rm{cot}}\frac{\pi }{6} = \sqrt 3 ;{\rm{cot}}\frac{\pi }{{2.6}} = 2 + \sqrt 3  = 2\)\({x_2} = {\rm{cot}}\frac{\pi }{6} + \sqrt {1 + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\frac{\pi }{6}}  = \frac{{{\rm{cos}}\frac{\pi }{6}}}{{{\rm{sin}}\frac{\pi }{6}}} + \frac{1}{{{\rm{sin}}\frac{\pi }{6}}} = \frac{{{\rm{cos}}\frac{\pi }{6} + 1}}{{{\rm{sin}}\frac{\pi }{6}}} = {\rm{cot}}\frac{\pi }{{12}}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được \({x_n} = {\rm{cot}}\frac{\pi }{{{2^{n - 1}} \cdot 6}}\)
Tương tự \({y_1} = {\rm{tan}}\frac{\pi }{3};{y_2} = {\rm{tan}}\frac{\pi }{{2.3}} \Rightarrow {y_n} = {\rm{tan}}\frac{\pi }{{{2^{n - 1}}.3}}\)
Đặt \(\frac{\pi }{{{2^{n - 1}} \cdot 6}} = \alpha  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{x_n} = {\rm{cot}}\alpha }\\{{y_n} = {\rm{tan}}2\alpha }\end{array} \Rightarrow {x_n} \cdot {y_n} = \frac{1}{{{\rm{tan}}\alpha }} \cdot \frac{{{\rm{tan}}\alpha  + {\rm{tan}}\alpha }}{{1 - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha }} = \frac{2}{{1 - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}\)
Do \(n \ge 2 \Rightarrow 0 \le \alpha  \le \frac{\pi }{{{2^{1 - 1}} \cdot 6}} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow 0 < {\rm{tan}}\alpha  < \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow 1 < 1 - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha  < 1\)
Vậy \(2 < {x_n}{y_n} < 3\)

Đáp án cần chọn là: D