Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;0;\sqrt 3 } \right)\) và điểm \(B\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(C\) là điểm trên tia \(Oz\) thỏa mãn \(d\left[ {C,AB} \right] = d\left[ {C,OB} \right] = \alpha \). Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi tập hợp tất cả các điểm \(M\) mà \(CM \le \alpha \) bằng \(\_\_\_\_\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đáp án:  _____

Đáp án đúng là: 0,81

Giải chi tiết

Tam giác\(\;OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow {\rm{\;}}\frac{1}{2}\) \(OB.OA = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OB = 1 \Rightarrow B\) nằm trên đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(r = 1\). Ta có \({\rm{tan}}\angle OBA = \frac{{OA}}{{OB}} = \sqrt 3 .\angle OBA = {60^0}\).
Theo bài ra \(d\left[ {C,AB} \right] = d\left[ {C,OB} \right] = \alpha \Rightarrow C \in \) tia \(Oz\) và nằm trên tia phân giác trong của \(\angle OBA \Rightarrow C\) là chân đường phân giác trong của góc \(B \Rightarrow \angle OBC = \frac{{\angle OBA}}{2} = {30^0} \Rightarrow OC = \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Tập hợp các điểm \(M\) là khối cầu tâm \(C\),bán kính \(R = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \) Thể tích khối cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }} \approx 0.81\)

Đáp án cần điền là: 0,81