Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\).

Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt phẳng đáy là trung điểm của AO.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.

Biết thể tích của hình chóp là \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\). Góc giữa hai đường thẳng SM và CN gần nhất với giá trị nào?

Phương pháp giải Chọn đường thẳng trung gian song song với một đường thẳng và cắt đường thẳng còn lại.

Giải chi tiết:

Gọi \(K \in BC\) sao cho

                                            \[\frac{{BK}}{{BC}} = \frac{1}{4}.\]

Ta chứng minh được \(MK\parallel CN\), do đó góc cần tìm là góc giữa SM và MK.

Diện tích đáy:

                                                     \[{S_{ABCD}} = {a^2}.\]

Chiều cao hình chóp:

                               \[SH = \frac{{3V}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3 \cdot \frac{{2{a^3}}}{3}}}{{{a^2}}} = 2a.\]

Ta có:

                \[MH = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}.\]

                                         \[KH = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4}a.\]

               \[MK = \sqrt {B{M^2} + B{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}.\]

                \[SM = \sqrt {S{H^2} + M{H^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{4}.\]

                  \[SK = \sqrt {S{H^2} + K{H^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {73} }}{4}.\]

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $SMK$:

      \[\cos \widehat {SMK} = \frac{{S{M^2} + M{K^2} - S{K^2}}}{{2SM \cdot MK}} = \frac{{\frac{{66{a^2}}}{{16}} + \frac{{5{a^2}}}{{16}} - \frac{{73{a^2}}}{{16}}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt {66} }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{4}}} = - \frac{1}{{\sqrt {330} }}.\]

Suy ra:

$\widehat{SMK}=\arccos \text{}\left(-\frac{1}{\sqrt{330}}\right)\approx {87}^{°}.$