Một nhà máy cần sản xuất một loại bao bì bằng bìa để đựng sản phẩm của mình. Đối với mỗi sản phẩm, nhà máy sẽ có thể sử dụng 250 cm2 bìa để làm bao bì. Có hai phương án sản xuất bao bì cho nhà máy như sau:

Phương án 1: Bao bì có dạng hình trụ.

Phương án 2: Bao bì có dạng hình hộp chữ nhật, với đáy hộp có dạng hình vuông.

Lưu ý, các loại bao bì cần phải có đủ hai đáy.

Hỏi thể tích lớn nhất mà bao bì có thể tạo thành là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, đơn vị cm\(^3\)

Phương pháp giải Xét hai trường hợp, đối với mỗi trường hợp lập hàm số, tìm thể tích lớn nhất có thể.

Giải chi tiết:

Phương án 1: Bao bì hình trụ

Gọi \(r\) là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao của hình trụ.

·                  Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 250 \Rightarrow h = \frac{{250 - 2\pi {r^2}}}{{2\pi r}} = \frac{{125}}{{\pi r}} - r\).

·                  Thể tích: \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}\left( {\frac{{125}}{{\pi r}} - r} \right) = 125r - \pi {r^3}\).

·                  Tìm cực trị: \(V'(r) = 125 - 3\pi {r^2}\). Cho \(V'(r) = 0 \Rightarrow r = \sqrt {\frac{{125}}{{3\pi }}} \).

·                  Thể tích cực đại hình trụ: \({V_1} = 125\left( {\sqrt {\frac{{125}}{{3\pi }}} } \right) - \pi {\left( {\sqrt {\frac{{125}}{{3\pi }}} } \right)^3} \approx 303,5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

Phương án 2: Bao bì hình hộp chữ nhật (đáy vuông)

Gọi \(a\) là cạnh đáy vuông và \(H\) là chiều cao của hình hộp.

·                  Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2{a^2} + 4aH = 250 \Rightarrow H = \frac{{250 - 2{a^2}}}{{4a}} = \frac{{125 - {a^2}}}{{2a}}\).

·                  Thể tích: \(V = {a^2}H = {a^2}\left( {\frac{{125 - {a^2}}}{{2a}}} \right) = \frac{{125a - {a^3}}}{2}\).

·                  Tìm cực trị: \(V'(a) = \frac{{125 - 3{a^2}}}{2}\). Cho \(V'(a) = 0 \Rightarrow a = \sqrt {\frac{{125}}{3}} \).

o        Lưu ý: Khi \(a = \sqrt {\frac{{125}}{3}} \), ta tính được \(H = \sqrt {\frac{{125}}{3}} = a\). Đây là trường hợp hình lập phương.

·                  Thể tích cực đại hình hộp: \({V_2} = {a^3} = {\left( {\sqrt {\frac{{125}}{3}} } \right)^3} \approx 268,9{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

So sánh hai kết quả:

·                  \({V_1}{\rm{ (Tr?)}} \approx 303,5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

·                  \({V_2}{\rm{ (H?p)}} \approx 268,9{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

Thể tích lớn nhất có thể tạo thành thuộc về phương án hình trụ. Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được kết quả là 304.