Ở một thị xã, tỉ lệ mắc căn bệnh M là 22%. Chính quyền thị xã đó muốn biết danh sách những người bị mắc bệnh nên đã tổ chức xét nghiệm cho toàn bộ người dân. Tuy nhiên bộ “test” được sử dụng trong phương pháp xét nghiệm này có những sai sót nhất định:

Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ “test” cho ra kết quả dương tính là 10%.

Nếu bộ “test” cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là 70%.

Xác suất để bộ “test” cho ra kết quả dương tính khi xét nghiệm người bị bệnh là:

Phương pháp giải Vận dụng các công thức xác suất (công thức cộng, công thức nhân, công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes…)

Giải chi tiết

Gọi \(A\) là biến cố bị mắc bệnh M

\(B\) là biến cố Bộ test cho kết quả dương tính

Do xác suất bị mắc bệnh M là \(22\% \) nên:

                                                             \[P(A) = 0,22.\]

Từ dữ kiện: Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ test cho kết quả dương tính là \(10\% \), suy ra:   

                                                    \[P(B\mid \bar A) = 0,1.\]

Nếu bộ test cho kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là \(70\% \), suy ra:  

                                                        \[P(A\mid B) = 0,7.\]

Từ đó, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22,}\\{\frac{{P(\bar AB)}}{{P(\bar A)}} = 0,1,}\\{\frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = 0,7.}\end{array}} \right.\)

Suy ra:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22,}\\{P(\bar AB) = 0,1P(\bar A) = 0,1 \cdot 0,78 = 0,078,}\\{P(AB) = 0,7P(B).}\end{array}} \right.\]

Mặt khác:

    \[P(B) = P(AB) + P(\bar AB) = 0,7P(B) + 0,078 \Rightarrow 0,3P(B) = 0,078 \Rightarrow P(B) = 0,26.\]

Khi đó:

                                             \[P(AB) = 0,7 \cdot 0,26 = 0,182.\]

Xác suất cần tính là:

\[P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,182}}{{0,22}} \approx 0,8273 = 82,73\% .\]