Cho hai hình cầu như hình vẽ.

Biết rằng bán kính của hai hình cầu đều bằng \(5,\)khoảng cách giữa tâm của hai hình cầu bằng \(6.\) Thể tích phần chung giữa hai hình cầu là

                           \[{V_C} = \frac{a}{b}\pi \quad \left( {\;a,b > 0} \right).\]

Giá trị của biểu thức \[T = ab\] bằng bao nhiêu? (Nhập đáp án vào ô trống.)

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm của một hình cầu trùng với gốc tọa độ \(O(0,0,0)\).

·                  Phương trình mặt cầu: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {5^2}\)

·                  Khoảng cách giữa hai tâm là \(6\), nên mặt phẳng cắt chia đôi khoảng cách này nằm tại \(x = 3\).

·                  Chỏm cầu là phần hình đặc giới hạn từ \(x = 3\) đến \(x = 5\).

Thể tích của chỏm cầu được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) quanh trục Ox, trong đoạn từ \(x = 3\) đến \(x = 5\).

Ta có:

\({V_{chom}} = \pi \int_3^5 {{y^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_3^5 {(25 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx\)

\({V_{chom}} = \pi \left[ {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_3^5\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\left[ {25(5) - \frac{{{5^3}}}{3}} \right] - \left[ {25(3) - \frac{{{3^3}}}{3}} \right]} \right)\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\left[ {125 - \frac{{125}}{3}} \right] - \left[ {75 - 9} \right]} \right)\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\frac{{250}}{3} - 66} \right) = \pi \left( {\frac{{250 - 198}}{3}} \right) = \frac{{52}}{3}\pi \)

Vì phần chung của hai hình cầu gồm hai chỏm cầu bằng nhau:

\({V_C} = 2 \times {V_{chom}} = 2 \times \frac{{52}}{3}\pi = \frac{{104}}{3}\pi \)

Suy ra:

\[\frac{a}{b} = \frac{{104}}{3} \Rightarrow a = 104,\;b = 3 \Rightarrow T = ab = 312.\]